Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к  другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Свойство параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Кроме знания этих теорем вам потребуется умение строить в задачах углы и расстояния, которые необходимо найти.

1. Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой.

Определение. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой называется расстоянием от этой точки до прямой.

Для нахождения расстояния от точки до прямой удобно применять следующее правило.

Правило 1. Чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно найти расстояние от прямой, параллельной данной прямой и содержащей данную точку, до данной прямой.

Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости.

 В школьном курсе геометрии расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к плоскости.

При нахождении расстояния от данной точки до плоскости удобно пользоваться следующими правилами.

Правило 2. Чтобы найти расстояние от данной точки до плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей, содержащей данную точку, до другой плоскости.

Правило 3. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки прямой, содержащей данную точку, до параллельной ей данной плоскости.