Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений 3 страница

.

9. Магнитный поток (через поверхность S):

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BS cos a или Ф = B _n S,

где S - площадь контура; a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

     б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток) – Y = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

10. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле   dA=I d Ф или А= I × DФ.

11. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла):                 .

     Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью  в магнитном поле,    U = Blv· sin a,

где l - длина провода; a - угол между векторами  и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:  или , где R - сопротивление контура.

     12. Индуктивность контура L = Ф / I.

Индуктивность соленоида L = mm₀ n ² lS,

где n - отношение числа витков соленоида к его длине; l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения.

13. Э.д.с. самоиндукции

     14. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

     а)  - при замыкании цепи, где e -э.д.с. источника тока; t - время, прошедшее после замыкания цепи;

     б)  - при размыкании цепи, где I ₀ - сила тока в цепи при t = 0; t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

     15. Энергия магнитного поля соленоида W =

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии поля к его объему)

w = BH /2 = B ²/(2mm₀) = mm₀ H ²/2.

 

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r ₀ = 30 см от его середины.

     Р е ш е н и е.

 Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа

            (1)

и принципом суперпозиции магнитных полей:

,                           (2)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода,   магнитная индукция, создаваемая элементом тока   в точке, определяемой радиус-вектором ; m ₀ - магнитная постоянная; m - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае m = 1). Векторы  от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:

, ,

где a есть угол между вектором   и радиус-вектором . Таким образом,

.                                        (3)

Выразим длину элемента провода dl через угол d a: dl = rd a/sina.

     Запишем выражение  в виде  Переменная r также зависит от a (r = r ₀/sina), следовательно: . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде , где a₁ и a₂ - пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

                                (4)

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos a₂ = -cos a₁. С учетом этого формула (4) примет вид

.                                     (5)

     Из рис.2 следует

Подставив выражение cosa₁ в формулу (5), получим

.                                    (6)

     Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.

№ 2. Два бесконечно длинных провода D  и С, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию  поля, создаваемого проводниками в точке А. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r ₁ = 5 см, от другого на r ₂ = 12 см.

      

Р е ш е н и е.

Для нахождения магнитной индукции  в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей:  = ₁+ ₂.

Модуль вектора  может быть найден из теоремы косинусов

               

                Рис. 3

,    (1)

где a - угол между векторами ₁ и ₂.

Магнитные индукции ₁ и ₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r ₁ и r ₂ от проводов до точки А

В ₁ = m₀ I /(2p r ₁); B ₂ = m₀ I /(2p r ₂).

     Подставляя выражения В ₁ и В ₂ в формулу (1), получаем

.                               (2)

     Вычислим cos a по теореме косинусов (Ð a = Ð DAC как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), d² = r ₁² + r ₂² - 2 r ₁ r₂ cos a,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

    Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

 = 308 мкТл.

 

№ 3.  По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию  в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

     Р е ш е н и е.

 Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где d  - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I в точке, определяемой радиус-вектором .

     Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор  (рис. 4). Вектор d  направим в соответствии с правилом буравчика.

     Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция  в точке А определяется интегрированием: , где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор d  на две составляющие: перпендикулярную плоскости

кольца d _^ и параллельную d _||, т.е. .Тогда ,

     Рис. 4

 из соображений симметрии, а векторы от различных элементов dl сонаправлены, следовательно , где dB _^ = dB cos b и dB =  (поскольку  перпендикулярен , то sin a = 1). Таким образом, , где cosb = R / r (см. рис 4). Окончательно получим: .

     Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

Вектор  направлен по оси кольца в соответствии с правилом буравчика.

 

     № 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом a = (2/3)p.. Определить магнитную индукцию  в точке А (см. рис. 5). Расстояние d = 5 см.

         

 

Рис. 5

Рис. 5

Р е ш е н и е.

Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция  в точке А будет равна геометрической сумме индукций ₁ и ₂ магнитных полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е.  = ₁ + ₂.

Магнитная индукция ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, d = 0, т.к. [ d ]= 0.

Магнитную индукцию B ₁ найдем, воспользовавшись соотношением (4), из примера 1:  где r ₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (см. рис. 5)

В нашем случае a ₁®0 (провод длинный), a ₂ = a = 2 p /3. Расстояние r ₀ = d sin(p - a). Тогда магнитная индукция .

Так как B = B ₁ (B ₂ = 0), то .

Вектор  сонаправлен с вектором ₁ и направление его определяется правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

     Произведем вычисления:

 

     № 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I ₁ = 80 A и I ₂ = 60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию  в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Р е ш е н и е.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция  магнитного поля, создаваемого токами I ₁ и I ₂, определяется

Рис. 6

выражением  = ₁ + ₂, где ₁ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I ₁; ₂ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I ₂ (направление отмечено точкой в кружочке - перпендикулярно плоскости чертежа к нам).

     Векторы ₁ и ₂, взаимно перпендикулярны, их направления находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке. Модуль  можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)

,

В ₁ и В ₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и .

В нашем случае r ₀ = d /2. Тогда .

Произведем вычисления: .

 

№ 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рис.7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию  в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .

 

Рис. 7

В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда , где ,  и   - индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то  = 0 и тогда  =  + . Учитывая, что векторы  и   направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В ₂ + В ₃.

     Магнитную индукцию В ₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому .

     Магнитную индукцию В ₃ найдем, применив соотношение (4), пример 1: .

В нашем случае r ₀ = R, a₁ = p/2 (cos a₁ = 0), a ₂ ®p (cos a₂ = -1). Тогда .

Используя найденные выражения, получим В = В ₂ + В ₃ =  + ,

ли .

     Произведем вычисления:

 

     № 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

     Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

     Предположим, что оба тока (обозначим их I ₁ и I ₂) текут в одном направлении. Ток I ₁ создает в месте расположения второго провода (с током I ₂) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции  определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В ₁ задается соотношением

.                                           (1)

     Согласно закону Ампера, на каждый элемент  второго провода действует в магнитном поле сила . Так как вектор перпендикулярен вектору , то  и тогда dF = I ₂ B ₁ dl. Подставив в это выражение значение В ₁, получим .

      Силу F взаимодействия токов найдем интегрированием:

.

Учитывая, что I ₁= I ₂ = I, получим

.

     Произведем вычисления:

              Рис. 8

 

Сила  сонаправлена с силой d , а направление d  определяется правилом левой руки.

 

№ 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в одно­родном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции: . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщает        Рис. 9

частице (протону) нормальное ускорение _n.

     Согласно второму закону Ньютона,

                ,                                               (1)

      

где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору  к центру окружности (векторы _n и  сонаправлены.). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

     Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

F _л = ma _n.                                             (2)

В скалярной форме F _л = qvB sin a. В нашем случае  и sin a = 1, тогда F _л = qvB. Так как нормальное ускорение a _n = v ²/ R, то выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = m v ²/ R. Отсюда выразим радиус окружности: