R = mv / (qB). (3)
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = D W, или q (j 1 - j 2) = W 2 - W 1, где (j 1 - j 2) = U - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение); W 1 и W 2 - начальная и конечная кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W 1» 0, и, учитывая, что W к = mv 2/2, получим qU = mv 2/2.
Найдем из этого выражения скорость 
и подставим ее в формулу (3), в результате получим
(4)
Произведем вычисления: 
№ 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент р m эквивалентного кругового тока.
Р е ш е н и е.
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Движение электрона по окружности эквивалентно току, который в данном случае определяется выражением: 
где е - заряд электрона; Т - период его обращения.
Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2 p R)/ v. Тогда
(1)
По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением
P m = I эквS, (2)
где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном S = p R 2. Учитывая (1), (2) и (3), получим Р m = 
или 
Известно, что R = mv /(е B) (см. пример 8). Тогда для скорости v электрона находим 
. Подставив это выражение в (4) для магнитного момента Pm электрона получим 
Произведем вычисления:
№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.
|
|
Р е ш е н и е.
Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис. скорость 
электрона на две составляющие: параллельную
Рис. 10 вектору индукции 
и перпендикулярную ему (
). Скорость 
в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовых линий. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению 
(в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .
Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением
. (1)
Найдем отношение R / v ^. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a n = v 2/ R. Согласно второму закону Ньютона F л = ma n или
(2)
где v ^ = v · sin a. Получим соотношение R / v ^ = m / eB и подставим его в формулу (1);
(3)
Произведем вычисления: 
Модуль скорости v определяем через v || и v ^: 
.
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости: 
Параллельную составляющую скорости v || найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv ||, откуда v || = h / T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим
Таким образом, модуль скорости электрона 
Произведем вычисления:
№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
Р е ш е н и е.
Для того, чтобы найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: qU = mv 2 /2, откуда
(1)
Скорость v альфа-частицы определим из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца F л = q 
направленная перпендикулярно скорости 
и вектору магнитной индукции 
; кулоновская сила F к = qE, сонаправленная с вектором напряженности 
электростатического поля.
|
|
Направим вектор магнитной индукции вдоль оси О z, а вектор 
вдоль оси Oy (см. рис.), скорость - в положительном направлении оси Ох, тогда силы 
и 
будут направлены так, как показано на рис. 11.
Рис. 11 Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна нулю + = 0. В проекции на ось Оу получим равенство (при этом ^ и sin a = 1): qE - qvB = 0, откуда
v = E / B (2)
Подставив (2) в формулу (1), получим 
Произведем вычисления: 
№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции e для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 600 с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Р е ш е н и е.
Мгновенное значение э.д.с. индукции ei определяется законом Фарадея
. (1)
Потокосцепление Y = N Ф, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу (1), получим
|
|
. (2)
При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по закону Ф = BS · cosj = BS · cos w t, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; j - угол между 
и 
; w - угловая скорость вращения.
Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и, продифференцировав по
Рис. 12 времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: ei = ωNBS· sinw t.
Учитывая, что угловая скорость вращения w катушки связана с частотой вращения n соотношением w = 2p n и что угол w t = p/2 - a (см. рис.), sin (p /2 - a) = cosa, получим ei = 2p nNBS· cos a.
Произведем вычисления: ei = 2×3,14×10×103×0,04×10-2×0,5 = 25,1 В.
№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Р е ш е н и е.
При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции 
Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома для полной цепи I i = ei/ R, где R - сопротивление рамки. Тогда 
.
Так как мгновенное значение силы индукционного тока I i = dq / dt, то предыдущее выражение можно переписать в виде 
,
откуда
(1)
Проинтегрировав выражение (1), найдем 
или 
.
При выключенном поле Ф 2 = 0, и последнее равенство перепишется в виде q = Ф 1/ R. (2)
По определению магнитного потока Ф 1 = BS· cosa. В нашем случае площадь рамки S = а 2. Тогда
Ф 1 = Ва 2cosa. (3)
Подставив (3) в (2), получим 
.
Произведем вычисления: 
.
№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол j = 900. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис. 13)
M = p m B sin j, (1)
где p m = IS = Ia 2 - магнитный момент контура; В - индукция магнитного поля; j - угол между векторами 
(направлен по нормали к контуру) и .
|
|
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, угол j = 0, т. е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим
Рис. 13 формулу работы в дифференциальной форме dA = Md j. Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa 2sinj d j.
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол 
. Работа при повороте на угол j = 900
(2)
Произведем вычисления: А = 100× 1 (0,1)2 = 1 Дж.
Задачу можно решить другим способом.
Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -I D Ф = I(Ф 1 - Ф 2), где Ф 1 - магнитный поток до перемещения, Ф 2 - после. Ф 1 = BS cos00 = BS; Ф 2 = BS cos900 = 0. Следовательно, А = IBS = IBa 2, что совпадает с формулой (2).
№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой:
. (1)
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости m сердечника, т.е. L = mm 0 n 2 V, где m 0 = магнитная постоянная.
Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой: 
где В - индукция магнитного поля, Н - напряженность.
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим 
.
Объем сердечника выразим через длину l и сечение S 
Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.
Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 2×103× 0,5 А/м = 103 А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).
Произведем вычисления:
№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Р е ш е н и е.
Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q = 
.
Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой: 
где I 0 - сила тока до замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность соленоида.
Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t ®¥, I ® 0), получим:
Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку.
(1)
Найдем L и R. Индуктивность соленоида
. (2)
Сопротивление обмотки соленоида
(3)
Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что 
, получим:
.
4.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Напряженность магнитного поля Н = 100 А/м. Вычислить магнитную индукцию В этого поля в вакууме. (Ответ. 126 мкТл).
2. По двум длинным проводам текут в одинаковом направлении токи I 1 = 10 A и I 2 = 15 A. Расстояние между проводами а = 10 см. Определить напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на расстояние r 1 = 8 см и от второго на r 2 = 6 см. (Ответ. 44,5 А/м).
3. Решить задачу 2 при условии, что токи текут в противоположных направлениях. Точка удалена от первого провода на r 1 = 15 см и от второго на r 2 = 10 см. (Ответ. 17,4 А/м).
4. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а = 10 см, идет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию в центре шестиугольника. (Ответ. 138 мкТл).
5. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводнику идет ток силой I = 0,5 А. (Ответ. 6,28 мТл).
6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной l = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток силой I = 5 А, а угол j между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30 0. (Ответ. 50 мН).
7. Рамка с током силой I = 5 А содержит N = 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент р m рамки с током, если ее площадь S = 10 см2. (Ответ. 0,1 Ам2).
8. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол j = 600 с линиями индукции. (Ответ. 0,157 Н м).
9. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и описал дугу радиусом R = 10 см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция В = 1 Тл. (Ответ. 9,57×106 м/с).
10. Определить частоту n обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. (Ответ. 2,8×1010с-1).
11. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом R = 5 см и шагом h = 20 см. Определить скорость v электрона, если магнитная индукция В = 0,1 мТл. (Ответ. 1,04×106 м/с).
12. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,138 Тл. Плоскость кольца составляет угол j= 300 с линиями индукции. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо. (Ответ. 5 мВб).
13. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см, течет ток силой I =20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция В = 0,1 Тл. Поле считать однородным. (Ответ. 0,02 Дж).
14. Проводник длиной l = 1 м движется со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Определить магнитную индукцию В, если на концах проводника возникает разность потенциалов U = 0,02 В. (Ответ. 4 мТл).
15. Рамка площадью S = 50 см2, содержащая N = 100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Определить максимальную э.д.с. индукции emax, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n = 96 об/мин. (Ответ. 2,01 В).
16. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет угол j = 900 с линиями индукции. Определить заряд q, который протечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см2. (Ответ. 0,4 Кл).
17. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет ток силой I = 20 А. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление y, если индуктивность L = 0,4 Гн. (Ответ. 2 мВб. 8 Вб).
18. На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см2 намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить индуктивность L получившегося соленоида. (Ответ. 6,28 мГн).
19. Определить силу тока в цепи через время t = 0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи r = 20 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Сила тока до размыкания цепи I 0 = 50 А. (Ответ. 6,75 А).
20. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток силой I = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ. 10 Дж).
4.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ
|
|
1. Указать все случаи, когда напряженность магнитного поля в точке А направлена за плоскость рисунка (I 1 = I 2).
1. 2. 3. 4.
|
|
2. Поле создано двумя длинными параллельными проводами с токами I 1 = I 2 = I. Через точку А пролетает электрон. Как направлена сила, действующая на электрон?
Варианты ответа:
1) влево, 2) вправо, 3) к нам, 4) от нас
|
|
3. По контуру АВСА идет ток I = 12 А. Определить магнитную индукцию в точке А, если радиус дуги АВ = АС = 10 см, а угол a = 600.
Варианты ответа: 1) 13 мкТл; 2) 6,3 мкТл; 3) 19 мкТл; 4) 25 мкТл; 5) 36 мкТл.
4. Предположим, что по длинному прямому проводу, лежащему недалеко от Вас в плоскости листа, течет ток в направлении слева направо. Между Вами и проводом в том же направлении движется электрон. Указать верную комбинацию направлений вектора магнитной индукции в месте нахождения электрона и силы, действующей на этот электрон.
Вектор магнитной индукции: Сила:
1) вниз от плоскости листа от провода
2) вверх от плоскости листа к проводу
3) вверх от плоскости листа от провода
4) вниз от плоскости листа к проводу
5) вверх от плоскости листа вдоль провода
