Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений 1 страница

, (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле , откуда .

Подставив числовые значения, найдем

Из выражений (2) и (3) определим силу тока:

Если подставить значения I₁ и R₁ в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U ₁ = 1,03·45,5 В = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I ₂ на половину сопротивления потенциометра: .

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I ₂ = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I ² R t справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ = I ² R dt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I = k t + I _0, (2)

где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

С учетом (2) формула (1) примет вид

dQ = k² R t² dt. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t ₁ до t ₂:

При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t ₁ = 1 с, t ₂ =2 с, тогда

№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R ₁ = 100 Ом, R ₂ = 50 Ом, R ₃ = 20 Ом, э.д.с. элемента ε₁ = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I ₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. ε₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. å I_i= 0.

Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., в этом контуре.

На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.). Применяя правила Кирхгофа, следует соблюдать следующую последовательность.

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.

Р е ш е н и е.

Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа для узла F имеем

I₁ – I₂ – I₃ = 0. (1)

По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:

-I₁R₁ – I₂R₂ = -ε₁,

или после умножения обеих частей равенства на -1

I₁R₁ + I₂R₂ = ε₁. (2)

Соответственно для контура AFGHA:

I₁R₁ + I₃R₃ = ε₂. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

I₁ – I₂ = 0,05;

50 I₁ + 25 I₂ = 1;

100 I₁ + 0,05·20 = ε₂.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений:

I₁ – I₂ = 0,05; 50 I₁ + 25 I₂ = 1; 100 I₁ - ε₂ = -1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε ₂ из трех, то воспользуемся методом Крамера.

Составим и вычислим определитель Δ системы:

Составим и вычислим определитель Δε₂:

Разделив определитель Δε₂ на определитель Δ, найдем числовое значение э.д.с. ε₂:

ε₂ = -300/(-75) = 4 В.

3.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ.

1. Два шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити l = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол α = 60 °? (Ответ. 79 нКл.)

2. Расстояние между зарядами q ₁ = 100 нКл и q ₂ = 60 нКл равно d = 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q ₃ = 1мкКл, отстоящий на r₁ = 12 см от заряда q ₁ и на r₂ = 10 см от заряда q ₂. (Ответ. 51 мН)

3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 1,5 нКл/см. На протяжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. (Ответ. 2,26 мН)

4. Длинная прямая тонкая проволока имеет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если напряженность поля на расстоянии d = 0,5 м от проволоки против ее середины E = 2 В/см. (Ответ. 5,55 нКл/м)

5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 2 мкКл/м²? (Ответ. 0,23 Н/м²)

6. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = 8 Мм/с? (Ответ. 182 В)

7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние d = 10 см. (Ответ. 56,6 В)

8. Электрон с начальной скоростью v ₀ = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t = 0,1 мкс. (Ответ. 24 аН; 26,4 Тм/с²; 4 Мм/с)

9. К батарее с э.д.с. ε = 300 В подключены два плоских конденсатора емкостью С ₁ = 2 пФ и С ₂ = 3 пФ. Определить заряд q и напряжение U на пластинах конденсаторов в двух случаях: 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении. (Ответ. 1) 0,36 нКл; 189 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 нКл; 300 В)

10. Конденсатор емкостью С ₁ = 600 см зарядили до разности потенциалов U = 1,6 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили второй, незаряженный конденсатор емкостью С ₂ = 400 см. Сколько энергии W, запасенной в первом конденсаторе, было израсходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов? (Ответ. 0,3 мДж)

11. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе. (Ответ. 1,18·10⁷ А/м)

12. Сопротивление R ₁ = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение U ₁ = 10 В. Если заменить сопротивление R ₁на R ₂ = 12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U ₂ = 12 В. Определить э.д.с. и внутреннее сопротивление источника тока. Током через вольтметр пренебречь. (Ответ. 14 В; 2 Ом.)

13. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U₁ = 2 В до U ₂ = 4 В в течение t = 20 с. (Ответ. 20 Кл)

14. Определить силу тока I в цепи, состоящей из двух элементов с э.д.с. ε₁ = 1,6 В и ε₂ = 1,2 В с внутренними сопротивлениями r ₁ = 0,6 Ом и r ₂ = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. (Ответ. 0.4 А)

15. Три батареи с э.д.с. ε₁ = 8 В, ε₂ = 3 В и ε₃ = 4 В с внутренними сопротивлениями r = 2 Ом каждое соединены одноименными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить токи, идущие через батареи. (Ответ. 1,5 А; 1 А; 0,5 А)

16. Определить напряжение U на зажимах реостата сопротивлением R (рис 10), если ε₁ = 5 В, r ₁ = 1 Ом, ε₂ = 3 В, r ₂ = 0,6 Ом, R = 3 Ом. (Ответ. 3,3 В)

17. Определить напряжение на сопротивлениях R ₁ = 2 Ом, R₂ = R₃ = 4 Ом и R₄ = 2 Ом, включенных в цепь, как показано на рис. 11, если ε₁ = 10 В, ε₂ = 4 В. Сопротивлениями источников тока пренебречь. (Ответ. 6 В; 0; 4 В; 4 B)

3.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ

Электростатика

1. В какой из четырех точек А, В,С. D (см. рис). некоторый положительный заряд q ₃ может находиться в равновесии?

Варианты ответа:

1. В точке А. 2. В точке В. 3. В точке С. 4. В точке D.

2. Шарик массой 2,0 г, имеющий заряд 2×10^-6 Кл, подвешен в воздухе на тонкой нити. Каким будет натяжение нити, если снизу шарика на расстоянии 5 см от него расположен одноименный заряд 1,2×10^-7Кл.?

Варианты ответа:

1. 11×10^-3 Н. 2. 23×10^-3Н. 3. 0,65×10^-2Н. 4. 20×10^-3Н. 5. 8,6×10^-3Н.

3. В каких из четырех случаев распределения зарядов напряженность электростатического поля в точке А Е_А = 0 (см. рис.).

1. 2. 3. 4.

4. На рисунке приведена картина силовых линий электростатического поля. Какое соотношение для напряженностей Е и потенциалов j в точках 1 и 2 верно?

Варианты ответа:

1) Е ₁ < E ₂, j ₁ > j ₂;

2) Е ₁ > E ₂, j ₁ < j _2;

3) Е ₁ > E ₂, j ₁ > j _2;

4) Е ₁ < E ₂, j ₁ < j _2;

5) Е ₁ = E ₂, j ₁ < j ₂.

5. На рис. показаны силовые линии и две эквипотенциальные поверхности I и II в электростатическом поле. Какие точки имеют одинаковые потенциалы?

Варианты ответа: В и С. 2. A и D. 3. B, C и D. 4 A, B и C. 5. A, B,C,D.

6. Плоский конденсатор между обкладками содержит диэлектрик. Конденсатор подключили к источнику напряжения, а затем удалили диэлектрик. Что при этом произошло?

А. Напряжение на обкладках уменьшилось.

Б. Емкость конденсатора уменьшилась.

В. Напряженность поля увеличилась.

Г. Заряд на обкладках уменьшился.

Варианты ответа: 1) только Б и Г; 2) только А и Б;

3) только В и Г; 4) Б, В и Г; 5) А, Б, В и Г.

7. Какие из нижеприведенных выражений дают в той или иной форме поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность?

Варианты ответа:

8. Какие из равенств соблюдаются 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении конденсаторов с емкостями С ₁ и С ₂?

Варианты ответа:

1. С = С ₁ + С _2. 2. 3. q =q ₁= q ₂. 4. q = q ₁+ q _2.

5. U = U ₁ + U ₂, 6. U = U ₁ + U ₂.

9. На заряд q, помещенный между пластинами плоского воздушного конденсатора емкостью С и площадью каждой пластины S, действует сила F. Какова энергия конденсатора?

Варианты ответа:

Постоянный ток

1. В проводнике длиной l и площадью поперечного сечения S течет постоянный электрический ток. Средняя скорость направленного движения носителей тока v, их количество в единице объема n, а заряд частицы q. Какое из выражений дает силу тока в проводнике?

Варианты ответа: qvnS. 2. qvn. 3. qvnS/l. 4. qvnS. 5. qvnl/S.

2. Ток идет по проводнику, форма которого показана на рис. Одинакова ли напряженность поля в местах с узким и широким сечениями?

Варианты ответа:

1. Не одинакова. 2. При постоянном токе - одинакова, при переменном - разная. 3. При переменном токе - одинаковая, при постоянном - разная. 4. Одинакова.

3. Источник тока, амперметр и некоторое сопротивление соединены последовательно в замкнутую цепь. Сопротивление сделано из медной проволоки длиной 100 м и поперечным сечением 2 мм². Сопротивление амперметра равно 0,05 Ом. Амперметр показывает 1,43 А. Определить э.д.с. источника, если его внутреннее сопротивление 0,5 Ом.

Варианты ответа: 1. 2 В; 2. 1,2 В; 3. 1,8 В; 4. 3 В; 5. 3, 7 В.

4. Каким должно быть сопротивление шунта по сравнению с сопротивлением амперметра, если надо измерить общий ток в цепи 10 А, а амперметр имеет предел 2 А?

Варианты ответа:

1. R _ш = 0,25 R _А; 2. R _ш = R _А; 3. R _ш = 5 R _А; 4. R _ш = 0,1 R _А.

5. Две электрические лампочки с сопротивлением R ₁ = 360 Ом и R ₂ = 240 Ом включены в сеть параллельно. Какая из лампочек потребляет большую мощность и во сколько раз?

Варианты ответа: 1. Вторая, в 1,5 раза; 2. Первая в 1,5 раза;

3. Первая, в 2,25 раза; 4. Вторая, в 2,25 раза; 5. Первая, в 1,2 раза.

6. Какое из уравнений представляет второе правило Кирхгофа для данного контура? Ток через сопротивление R ₁ идет слева - направо.

Варианты ответа:

1. I ₁ (R ₁+ r ₁) - I ₂(R ₂+ r ₂) = e₁ - e₂.

2. I ₁ R ₁ - I ₂ R ₂ = e ₁ - e ₂.

3. - I ₁ (R ₁+ r ₁) - I ₂(R ₂+ r ₂) = e₁ + e₂.

4. I ₁ (R ₁+ R ₂) + I ₂(r ₁+ r ₂) = e₁ + e₂

З а м е ч а н и е: правильный ответ в задачах теста - под номером 1.

3.4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

№	Номера задач
0	300	310	320	330	340	350	360	370	380
1	301	311	321	331	341	351	361	371	381
2	302	312	322	332	342	352	362	372	382
3	303	313	323	333	343	353	363	373	383
4	304	314	324	334	344	354	364	374	384
5	305	315	325	335	345	355	365	375	385
6	306	316	326	336	346	356	366	376	386
7	307	317	327	337	347	357	367	377	387
8	308	318	328	338	348	358	368	378	388
9	309	319	329	339	349	359	369	379	389

300. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q = З·10^-10Кл каждый. Какой отрицательный заряд q₀ нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

301. В вершинах шестиугольника со стороной а = 10 см расположены точечные заряды q, 2 q, 3 q, 4 q, 5 q, 6 q (q = 0,1 мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин.

302. Четыре одинаковых заряда q = 40 нКл каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найти силу, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.

303. Три одинаковых заряда q = 10^-9 Кл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q ₀ нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов?

304. В вершинах квадрата находятся положительные одинаковые заряды q. В центр квадрата помещен отрицательный заряд q ₀ = -0,287 нКл. Найти q, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.

305. Сила взаимного гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных капель уравновешивается силой электростатического отталкивания. Определить заряд q капель, если их радиусы r = 1,5·10^-4 м. ρ _воды = 10³кг/м³.

306. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость электрона, если радиус орбиты R = 5,3·10^-9 см. Сколько оборотов в секунду делает электрон?

307. Заряд q = 3·10^-7 Кл равномерно распределен по сферической поверхности. Какую скорость нужно сообщить точечному заряду q ₀ = 2·10^-9 Кл, массой m = 6·10^-6 кг в направлении, перпендикулярном, прямой, соединяющей центр сферической поверхности с точечным зарядом, чтобы он начал вращаться по окружности с радиусом r = 10 см, R_сф < r, m<<m_сф.

308. Два положительных заряда q ₁ = 2 нКл и q ₂ = 4 нКл находятся на расстоянии l = 60 см друг от друга. Определить местоположение, величину и знак заряда q ₃, чтобы все заряды находились в равновесии.

309. Два одинаковых алюминиевых шарика радиусом R надеты на тонкий непроводящий стержень. Верхний шарик, имеющий заряд +q, закреплен, а нижний (его заряд -q) может свободно перемещаться вдоль стержня. На каком расстоянии r будут находиться в равновесии заряженные шарики при вертикальном положении стержня. (r>>R)

310. Треть тонкого кольца радиуса R = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 50 нКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кольца.

311 Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 0,1 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии d = 20 см от его конца.

312. По дуге кольца длиной в шестую часть окружности распределен заряд q = 31,4 нКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 10 см.

313. По дуге кольца длиной в три четверти окружности распределен заряд с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 14,1 см.

314. Тонкое кольцо несет распределенный заряд q = 0,2 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. Радиус кольца R = 10 см.

315. По дуге кольца длиной в пять шестых окружности распределен заряд с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 10 см.

316. Тонкий стержень, уходящий одним концом в бесконечность, несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 0,5 мкКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого зарядом стержня в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от его начала.

317. Четверть тонкого кольца радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 0,05 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.

318. Две трети тонкого кольца радиусом R = 10 см несут равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ= 0,2 мкКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.