, (3)
Сопротивление R1 параллельного соединения может быть найдено по формуле 
, откуда 
.
Подставив числовые значения, найдем
Из выражений (2) и (3) определим силу тока:
.
Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U 1 = 1,03·45,5 В = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I 2 на половину сопротивления потенциометра: 
.
Подставляя в эту формулу числовые значения, получим
.
№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I 2 = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.
Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I 2 R t справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде
dQ = I 2 R dt. (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
I = k t + I 0, (2)
где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.
.
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ = k2 R t2 dt. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t 1 до t 2:
.
При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t 1 = 1 с, t 2 =2 с, тогда
.
|
№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R 1 = 100 Ом, R 2 = 50 Ом, R 3 = 20 Ом, э.д.с. элемента ε1 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I 3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. ε2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. å Ii= 0.
Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., в этом контуре.
На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.). Применяя правила Кирхгофа, следует соблюдать следующую последовательность.
1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.
Р е ш е н и е.
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.
По первому правилу Кирхгофа для узла F имеем
I1 – I2 – I3 = 0. (1)
По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:
-I1R1 – I2R2 = -ε1,
или после умножения обеих частей равенства на -1
I1 R1 + I2 R2 = ε1. (2)
Соответственно для контура AFGHA:
I1 R1 + I3 R3 = ε2. (3)
После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:
I1 – I2 = 0,05;
50 I1 + 25 I2 = 1;
100 I1 + 0,05·20 = ε2.
Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений:
I1 – I2 = 0,05; 50 I1 + 25 I2 = 1; 100 I1 - ε2 = -1.
Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε 2 из трех, то воспользуемся методом Крамера.
Составим и вычислим определитель Δ системы:
.
Составим и вычислим определитель Δε2:
.
Разделив определитель Δε2 на определитель Δ, найдем числовое значение э.д.с. ε2:
ε2 = -300/(-75) = 4 В.
3.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Два шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити l = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол α = 60 °? (Ответ. 79 нКл.)
2. Расстояние между зарядами q 1 = 100 нКл и q 2 = 60 нКл равно d = 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q 3 = 1мкКл, отстоящий на r1 = 12 см от заряда q 1 и на r2 = 10 см от заряда q 2. (Ответ. 51 мН)
3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 1,5 нКл/см. На протяжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. (Ответ. 2,26 мН)
4. Длинная прямая тонкая проволока имеет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если напряженность поля на расстоянии d = 0,5 м от проволоки против ее середины E = 2 В/см. (Ответ. 5,55 нКл/м)
5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 2 мкКл/м2? (Ответ. 0,23 Н/м2)
6. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = 8 Мм/с? (Ответ. 182 В)
7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние d = 10 см. (Ответ. 56,6 В)
8. Электрон с начальной скоростью v 0 = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t = 0,1 мкс. (Ответ. 24 аН; 26,4 Тм/с2; 4 Мм/с)
9. К батарее с э.д.с. ε = 300 В подключены два плоских конденсатора емкостью С 1 = 2 пФ и С 2 = 3 пФ. Определить заряд q и напряжение U на пластинах конденсаторов в двух случаях: 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении. (Ответ. 1) 0,36 нКл; 189 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 нКл; 300 В)
10. Конденсатор емкостью С 1 = 600 см зарядили до разности потенциалов U = 1,6 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили второй, незаряженный конденсатор емкостью С 2 = 400 см. Сколько энергии W, запасенной в первом конденсаторе, было израсходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов? (Ответ. 0,3 мДж)
11. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе. (Ответ. 1,18·107 А/м)
12. Сопротивление R 1 = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение U 1 = 10 В. Если заменить сопротивление R 1 на R 2 = 12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U 2 = 12 В. Определить э.д.с. и внутреннее сопротивление источника тока. Током через вольтметр пренебречь. (Ответ. 14 В; 2 Ом.)
13. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U1 = 2 В до U 2 = 4 В в течение t = 20 с. (Ответ. 20 Кл)
14. Определить силу тока I в цепи, состоящей из двух элементов с э.д.с. ε1 = 1,6 В и ε2 = 1,2 В с внутренними сопротивлениями r 1 = 0,6 Ом и r 2 = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. (Ответ. 0.4 А)
15. Три батареи с э.д.с. ε1 = 8 В, ε2 = 3 В и ε3 = 4 В с внутренними сопротивлениями r = 2 Ом каждое соединены одноименными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить токи, идущие через батареи. (Ответ. 1,5 А; 1 А; 0,5 А)
16. Определить напряжение U на зажимах реостата сопротивлением R (рис 10), если ε1 = 5 В, r 1 = 1 Ом, ε2 = 3 В, r 2 = 0,6 Ом, R = 3 Ом. (Ответ. 3,3 В)
17. Определить напряжение на сопротивлениях R 1 = 2 Ом, R2 = R3 = 4 Ом и R4 = 2 Ом, включенных в цепь, как показано на рис. 11, если ε1 = 10 В, ε2 = 4 В. Сопротивлениями источников тока пренебречь. (Ответ. 6 В; 0; 4 В; 4 B)
3.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ
Электростатика
|
|
1. В какой из четырех точек А, В,С. D (см. рис). некоторый положительный заряд q 3 может находиться в равновесии?
Варианты ответа:
1. В точке А. 2. В точке В. 3. В точке С. 4. В точке D.
2. Шарик массой 2,0 г, имеющий заряд 2×10-6 Кл, подвешен в воздухе на тонкой нити. Каким будет натяжение нити, если снизу шарика на расстоянии 5 см от него расположен одноименный заряд 1,2×10-7Кл.?
Варианты ответа:
1. 11×10-3 Н. 2. 23×10-3 Н. 3. 0,65×10-2 Н. 4. 20×10-3 Н. 5. 8,6×10-3 Н.
3. В каких из четырех случаев распределения зарядов напряженность электростатического поля в точке А ЕА = 0 (см. рис.).
1. 2. 3. 4.
4. На рисунке приведена картина силовых линий электростатического поля. Какое соотношение для напряженностей Е и потенциалов j в точках 1 и 2 верно?
|
|
Варианты ответа:
1) Е 1 < E 2, j 1 > j 2;
2) Е 1 > E 2, j 1 < j 2;
3) Е 1 > E 2, j 1 > j 2;
4) Е 1 < E 2, j 1 < j 2;
5) Е 1 = E 2, j 1 < j 2.
|
|
5. На рис. показаны силовые линии и две эквипотенциальные поверхности I и II в электростатическом поле. Какие точки имеют одинаковые потенциалы?
Варианты ответа: В и С. 2. A и D. 3. B, C и D. 4 A, B и C. 5. A, B,C,D.
6. Плоский конденсатор между обкладками содержит диэлектрик. Конденсатор подключили к источнику напряжения, а затем удалили диэлектрик. Что при этом произошло?
А. Напряжение на обкладках уменьшилось.
Б. Емкость конденсатора уменьшилась.
В. Напряженность поля увеличилась.
Г. Заряд на обкладках уменьшился.
Варианты ответа: 1) только Б и Г; 2) только А и Б;
3) только В и Г; 4) Б, В и Г; 5) А, Б, В и Г.
7. Какие из нижеприведенных выражений дают в той или иной форме поток вектора напряженности 
через произвольную замкнутую поверхность?
Варианты ответа:
8. Какие из равенств соблюдаются 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении конденсаторов с емкостями С 1 и С 2?
Варианты ответа:
1. С = С 1 + С 2. 2. 
3. q =q 1= q 2. 4. q = q 1+ q 2.
5. U = U 1 + U 2, 6. U = U 1 + U 2.
9. На заряд q, помещенный между пластинами плоского воздушного конденсатора емкостью С и площадью каждой пластины S, действует сила F. Какова энергия конденсатора?
Варианты ответа:
Постоянный ток
1. В проводнике длиной l и площадью поперечного сечения S течет постоянный электрический ток. Средняя скорость направленного движения носителей тока v, их количество в единице объема n, а заряд частицы q. Какое из выражений дает силу тока в проводнике?
Варианты ответа: qvnS. 2. qvn. 3. qvnS/l. 4. qvnS. 5. qvnl/S.
2. Ток идет по проводнику, форма которого показана на рис. Одинакова ли напряженность поля в местах с узким и широким сечениями?
|
|
Варианты ответа:
1. Не одинакова. 2. При постоянном токе - одинакова, при переменном - разная. 3. При переменном токе - одинаковая, при постоянном - разная. 4. Одинакова.
3. Источник тока, амперметр и некоторое сопротивление соединены последовательно в замкнутую цепь. Сопротивление сделано из медной проволоки длиной 100 м и поперечным сечением 2 мм2. Сопротивление амперметра равно 0,05 Ом. Амперметр показывает 1,43 А. Определить э.д.с. источника, если его внутреннее сопротивление 0,5 Ом.
Варианты ответа: 1. 2 В; 2. 1,2 В; 3. 1,8 В; 4. 3 В; 5. 3, 7 В.
4. Каким должно быть сопротивление шунта по сравнению с сопротивлением амперметра, если надо измерить общий ток в цепи 10 А, а амперметр имеет предел 2 А?
Варианты ответа:
1. R ш = 0,25 R А; 2. R ш = R А; 3. R ш = 5 R А; 4. R ш = 0,1 R А.
5. Две электрические лампочки с сопротивлением R 1 = 360 Ом и R 2 = 240 Ом включены в сеть параллельно. Какая из лампочек потребляет большую мощность и во сколько раз?
Варианты ответа: 1. Вторая, в 1,5 раза; 2. Первая в 1,5 раза;
3. Первая, в 2,25 раза; 4. Вторая, в 2,25 раза; 5. Первая, в 1,2 раза.
6. Какое из уравнений представляет второе правило Кирхгофа для данного контура? Ток через сопротивление R 1 идет слева - направо.
|
|
Варианты ответа:
1. I 1 (R 1+ r 1) - I 2(R 2+ r 2) = e1 - e2.
2. I 1 R 1 - I 2 R 2 = e 1 - e 2.
3. - I 1 (R 1+ r 1) - I 2(R 2+ r 2) = e1 + e2.
4. I 1 (R 1+ R 2) + I 2(r 1+ r 2) = e1 + e2
З а м е ч а н и е: правильный ответ в задачах теста - под номером 1.
3.4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
| № | Номера задач | ||||||||
| 0 | 300 | 310 | 320 | 330 | 340 | 350 | 360 | 370 | 380 |
| 1 | 301 | 311 | 321 | 331 | 341 | 351 | 361 | 371 | 381 |
| 2 | 302 | 312 | 322 | 332 | 342 | 352 | 362 | 372 | 382 |
| 3 | 303 | 313 | 323 | 333 | 343 | 353 | 363 | 373 | 383 |
| 4 | 304 | 314 | 324 | 334 | 344 | 354 | 364 | 374 | 384 |
| 5 | 305 | 315 | 325 | 335 | 345 | 355 | 365 | 375 | 385 |
| 6 | 306 | 316 | 326 | 336 | 346 | 356 | 366 | 376 | 386 |
| 7 | 307 | 317 | 327 | 337 | 347 | 357 | 367 | 377 | 387 |
| 8 | 308 | 318 | 328 | 338 | 348 | 358 | 368 | 378 | 388 |
| 9 | 309 | 319 | 329 | 339 | 349 | 359 | 369 | 379 | 389 |
300. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q = З·10-10 Кл каждый. Какой отрицательный заряд q0 нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?
301. В вершинах шестиугольника со стороной а = 10 см расположены точечные заряды q, 2 q, 3 q, 4 q, 5 q, 6 q (q = 0,1 мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин.
302. Четыре одинаковых заряда q = 40 нКл каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найти силу, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.
303. Три одинаковых заряда q = 10-9 Кл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q 0 нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов?
304. В вершинах квадрата находятся положительные одинаковые заряды q. В центр квадрата помещен отрицательный заряд q 0 = -0,287 нКл. Найти q, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.
305. Сила взаимного гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных капель уравновешивается силой электростатического отталкивания. Определить заряд q капель, если их радиусы r = 1,5·10-4 м. ρ воды = 103 кг/м3.
306. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость электрона, если радиус орбиты R = 5,3·10-9 см. Сколько оборотов в секунду делает электрон?
307. Заряд q = 3·10-7 Кл равномерно распределен по сферической поверхности. Какую скорость нужно сообщить точечному заряду q 0 = 2·10-9 Кл, массой m = 6·10-6 кг в направлении, перпендикулярном, прямой, соединяющей центр сферической поверхности с точечным зарядом, чтобы он начал вращаться по окружности с радиусом r = 10 см, Rсф < r, m<<mсф.
308. Два положительных заряда q 1 = 2 нКл и q 2 = 4 нКл находятся на расстоянии l = 60 см друг от друга. Определить местоположение, величину и знак заряда q 3, чтобы все заряды находились в равновесии.
309. Два одинаковых алюминиевых шарика радиусом R надеты на тонкий непроводящий стержень. Верхний шарик, имеющий заряд +q, закреплен, а нижний (его заряд -q) может свободно перемещаться вдоль стержня. На каком расстоянии r будут находиться в равновесии заряженные шарики при вертикальном положении стержня. (r>>R)
310. Треть тонкого кольца радиуса R = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 50 нКл. Определить напряженность 
и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кольца.
311 Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 0,1 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии d = 20 см от его конца.
312. По дуге кольца длиной в шестую часть окружности распределен заряд q = 31,4 нКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 10 см.
313. По дуге кольца длиной в три четверти окружности распределен заряд с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 14,1 см.
314. Тонкое кольцо несет распределенный заряд q = 0,2 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. Радиус кольца R = 10 см.
315. По дуге кольца длиной в пять шестых окружности распределен заряд с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. Радиус окружности R = 10 см.
316. Тонкий стержень, уходящий одним концом в бесконечность, несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 0,5 мкКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого зарядом стержня в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от его начала.
317. Четверть тонкого кольца радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 0,05 мкКл. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
318. Две трети тонкого кольца радиусом R = 10 см несут равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ= 0,2 мкКл/м. Определить напряженность и потенциал φ электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
