Лекции.Орг


Поиск:




Задача на отыскание наибольшего или наименьшего значения функции

Задача 1 Разность двух чисел равна 13. Какие должны быть эти числа. Чтобы их произведение было наибольшим.

а=х

в=13-х

у =х(13-х)

y¢=13-х-х=13-2х

найдем критическую точку при y¢ = 0;

13-2х =0

х= 6,5

на промежутке (- ∞;6,5) y¢ > 0,

на промежутке (6,5 + ∞;) y¢ < 0

следовательно (.)    6,5 max функции.

умах=6,5(13-6,5)=42,25

а=6,5

в=6,5

Задача 2

Найти максимальную площадь участка при длине забора 124м

Дано стороны участка а и b, 2(а + b)=124, а + b= 62,

S=a∙b

Обозначим а=х; b=62-а

S=х(62-х)

S=62-х-х=62-2х

Найдем критическую точку, когда S=0;

62-2х=0, х=31, на уча

на промежутке (- ∞;31) y¢ > 0,

на промежутке (31 + ∞;) y¢ < 0

Sмах=31(62-31)=961 м2

При этом стороны участка одинаковые а=31; b=62-31=31

 

Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба

Опр. Кривая называется выпуклой в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной. проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Опр. Кривая называется вогнутой в некотором промежутке, если она расположена выше касательной. проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f∕∕(x), а именно, если в некотором промежутке f∕∕(x) < 0, то кривая выпукла в этом промежутке, если в некотором промежутке f∕∕(x) > 0, то кривая вогнута в этом промежутке.

Таким образом отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции

y = f(x) сводится к отысканию промежутков знакопостоянства ее второй производной f∕∕(x).

Точка перегиба кривой называется точки, которые отделяют участки выпуклости от участков вогнутости. Это точки, абсциссы которых являются критическими точками второго рода, т.е. точки находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f∕∕(x) обращается в 0 или терпит разрыв.

Точками перегиба являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Пр. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции:

у= х3 – 10х2 + 36х

у=3х2 -20х +36

у⁄∕=6х -20

найдем точку перегиба:

у⁄∕=6х -20=0

х = 20/6 =10/3= 31/3

на промежутке (– ∞,10/3) y″ < 0, функция выпукла

на промежутке (10/3,+ ∞) y″ > 0, функция вогнута

 

Асимптоты

Прямая называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к0 при удалении точки М вдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Если по крайней мере один из пределов функции y = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности. Т.е, если

 lim f(x)= ∞ или lim f(x)= ∞,

х→а+0                   х→а+0

то прямая х=а является вертикальной асимптотой.

 

Горизонтальные асимптоты

Если существует конечный предел функции при х→ + ∞ или при х→ - ∞ т.е., если

lim f(x)= b или lim f(x)= c,

х→а+0                   х→а-0

То прямая y=b (y=с), является горизонтальной асимптотой, при х→ + ∞ она называется правой, а при х→ - ∞ - левой.

Наклонные асимптоты

Если существуют пределы

lim f(x)/х= k1 и    lim [f(x) - k1x]= b1,

х→+∞                х→-+∞

то прямая у= k1x +b1 является наклонной (правой) асимптотой, аналогично

 

Если существуют пределы

lim f(x)/х= k2 и    lim [f(x) – k2x]= b2,

х→- ∞                х→- ∞

то прямая у= k2x +b2 является наклонной (левой) асимптотой.

Пример   у = -5х/(х+2)

Решение: Кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2, т.к.

lim -5х/(х+2) = + ∞,   lim -5х/(х+2) = - ∞;

х→-2+0                     х→-2-0

х = -2 – точка разрыва второго рода;

найдем горизонтальную асимптоту:

lim -5х/(х+2) = -5

х→± ∞           

Данная кривая имеет горизонтальную асимптоту у = -5

Примеры № 10.93-10.96

 

Общая схема исследования функции и построение ее графика

1. Найти область определения функции;

2. четность, нечетность функции;

3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности. Промежутки знакопостоянства;

4. точки пересечения графика с осями координат;

5. Найти асимптоты графика функции;

6. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;

7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, ее точки перегиба;

8. Построить график функции используя результаты исследования.

Примеры № 10.112-10.119

Пример: исследовать функцию у =х2/(х+1)

1.D(y) =(- ∞,-1)U(-1, + ∞)

2. проверка на четность f(-x) = (-х)2/(-х+1) = х2/(1- х)

f(-x) ≠ f(x)

3. Функция обращается в 0 при х = 0 и терпит разрыв при х =-1. Полученными точками ООФ делится на три промежутка: (- ∞,-1), (-1,0) и (0, + ∞) в каждом из которых она сохраняет определенный знак, а именно:

 На интервале (- ∞,-1)  у <0

 На интервале (-1,0)  y > 0

На интервале (0, + ∞) y >0

4. Асимптоты:

 Горизонтальная асимптота: lim х2/(х+1) = ± ∞       

                                                х→± ∞

 Вертикальная асимптота  lim х2/(х+1) = ± ∞ 

                                          х→-1±0

Наклонная асимптота k = lim х2/x(х+1) = 1, b = lim [х2/(х+1) –x] = lim -х/(х+1) = -1

                                          х→± ∞                          х→± ∞                     х→± ∞

Таким образом прямая у = х – 1 служит наклонной асимптотой графика.

5. найдем у′

у′ =[2х(х+1) - х2] / (x+1)2 = (х2+2x)/(x+1)2=x(x+2)/(x+1)2

Производная у′ обращается в 0 при х = -2 и при х = 0 и терпит разрыв при х = -1. Этими точками числовая ось делится на четыре промежутка:

На промежутке  (- ∞,-2) имеем   у′ > 0

На промежутке (-2, -1) имеем    у ′< 0

На промежутке (-1, 0) имеем     у′ <0

На промежутке (0, + ∞) имеем у′ > 0

Следовательно в промежутках (- ∞,-2) и (0, + ∞) функция возрастает, а в промежутках (-2, -1) и (-1, 0) функция убывает. Точки х = -2 и х = 0,являются соответственно точками максимума и минимума. Находим значение функции в этих точках. умах=у(-2) = - 4; умin= у(0) =0

Найдем y″

 

y″ = (2х+2)(х+1)2 – 2(х+1)(х2 + 2х) = 2---

                       (х+1)4             (х+1)3

Вторая производная терпит разрыв при х = -1, этой точкой числовая ось делится на два промежутка: (- ∞,-1) и (-1, + ∞)

На промежутке: (- ∞,-1) y″ < 0, на этом промежутке кривая выпукла

На промежутке (0, + ∞) y″> 0, на этом промежутке кривая вогнута

Точек перегиба нет. Используя полученные данные строим график функции



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Промежутки монотонности функции | Заттарды массасы бойынша салыстыру
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-10-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 181 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

782 - | 783 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.