Задача 1 Разность двух чисел равна 13. Какие должны быть эти числа. Чтобы их произведение было наибольшим.
а=х
в=13-х
у =х(13-х)
y¢=13-х-х=13-2х
найдем критическую точку при y¢ = 0;
13-2х =0
х= 6,5
на промежутке (- ∞;6,5) y¢ > 0,
на промежутке (6,5 + ∞;) y¢ < 0
следовательно (.) 6,5 max функции.
умах=6,5(13-6,5)=42,25
а=6,5
в=6,5
Задача 2
Найти максимальную площадь участка при длине забора 124м
Дано стороны участка а и b, 2(а + b)=124, а + b= 62,
S=a∙b
Обозначим а=х; b=62-а
S=х(62-х)
S⁄=62-х-х=62-2х
Найдем критическую точку, когда S⁄=0;
62-2х=0, х=31, на уча
на промежутке (- ∞;31) y¢ > 0,
на промежутке (31 + ∞;) y¢ < 0
Sмах=31(62-31)=961 м2
При этом стороны участка одинаковые а=31; b=62-31=31
Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба
Опр. Кривая называется выпуклой в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной. проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Опр. Кривая называется вогнутой в некотором промежутке, если она расположена выше касательной. проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f∕∕(x), а именно, если в некотором промежутке f∕∕(x) < 0, то кривая выпукла в этом промежутке, если в некотором промежутке f∕∕(x) > 0, то кривая вогнута в этом промежутке.
Таким образом отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции
y = f(x) сводится к отысканию промежутков знакопостоянства ее второй производной f∕∕(x).
Точка перегиба кривой называется точки, которые отделяют участки выпуклости от участков вогнутости. Это точки, абсциссы которых являются критическими точками второго рода, т.е. точки находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f∕∕(x) обращается в 0 или терпит разрыв.
Точками перегиба являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак.
Пр. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции:
у= х3 – 10х2 + 36х
у⁄=3х2 -20х +36
у⁄∕=6х -20
найдем точку перегиба:
у⁄∕=6х -20=0
х = 20/6 =10/3= 31/3
на промежутке (– ∞,10/3) y″ < 0, функция выпукла
на промежутке (10/3,+ ∞) y″ > 0, функция вогнута
Асимптоты
Прямая называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к0 при удалении точки М вдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты
Если по крайней мере один из пределов функции y = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности. Т.е, если
lim f(x)= ∞ или lim f(x)= ∞,
х→а+0 х→а+0
то прямая х=а является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты
Если существует конечный предел функции при х→ + ∞ или при х→ - ∞ т.е., если
lim f(x)= b или lim f(x)= c,
х→а+0 х→а-0
То прямая y=b (y=с), является горизонтальной асимптотой, при х→ + ∞ она называется правой, а при х→ - ∞ - левой.
Наклонные асимптоты
Если существуют пределы
lim f(x)/х= k1 и lim [f(x) - k1x]= b1,
х→+∞ х→-+∞
то прямая у= k1x +b1 является наклонной (правой) асимптотой, аналогично
Если существуют пределы
lim f(x)/х= k2 и lim [f(x) – k2x]= b2,
х→- ∞ х→- ∞
то прямая у= k2x +b2 является наклонной (левой) асимптотой.
Пример у = -5х/(х+2)
Решение: Кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2, т.к.
lim -5х/(х+2) = + ∞, lim -5х/(х+2) = - ∞;
х→-2+0 х→-2-0
х = -2 – точка разрыва второго рода;
найдем горизонтальную асимптоту:
lim -5х/(х+2) = -5
х→± ∞
Данная кривая имеет горизонтальную асимптоту у = -5
Примеры № 10.93-10.96
Общая схема исследования функции и построение ее графика
1. Найти область определения функции;
2. четность, нечетность функции;
3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности. Промежутки знакопостоянства;
4. точки пересечения графика с осями координат;
5. Найти асимптоты графика функции;
6. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;
7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, ее точки перегиба;
8. Построить график функции используя результаты исследования.
Примеры № 10.112-10.119
Пример: исследовать функцию у =х2/(х+1)
1.D(y) =(- ∞,-1)U(-1, + ∞)
2. проверка на четность f(-x) = (-х)2/(-х+1) = х2/(1- х)
f(-x) ≠ f(x)
3. Функция обращается в 0 при х = 0 и терпит разрыв при х =-1. Полученными точками ООФ делится на три промежутка: (- ∞,-1), (-1,0) и (0, + ∞) в каждом из которых она сохраняет определенный знак, а именно:
На интервале (- ∞,-1) у <0
На интервале (-1,0) y > 0
На интервале (0, + ∞) y >0
4. Асимптоты:
Горизонтальная асимптота: lim х2/(х+1) = ± ∞
х→± ∞
Вертикальная асимптота lim х2/(х+1) = ± ∞
х→-1±0
Наклонная асимптота k = lim х2/x(х+1) = 1, b = lim [х2/(х+1) –x] = lim -х/(х+1) = -1
х→± ∞ х→± ∞ х→± ∞
Таким образом прямая у = х – 1 служит наклонной асимптотой графика.
5. найдем у′
у′ =[2х(х+1) - х2] / (x+1)2 = (х2+2x)/(x+1)2=x(x+2)/(x+1)2
Производная у′ обращается в 0 при х = -2 и при х = 0 и терпит разрыв при х = -1. Этими точками числовая ось делится на четыре промежутка:
На промежутке (- ∞,-2) имеем у′ > 0
На промежутке (-2, -1) имеем у ′< 0
На промежутке (-1, 0) имеем у′ <0
На промежутке (0, + ∞) имеем у′ > 0
Следовательно в промежутках (- ∞,-2) и (0, + ∞) функция возрастает, а в промежутках (-2, -1) и (-1, 0) функция убывает. Точки х = -2 и х = 0,являются соответственно точками максимума и минимума. Находим значение функции в этих точках. умах=у(-2) = - 4; умin= у(0) =0
Найдем y″
y″ = (2х+2)(х+1)2 – 2(х+1)(х2 + 2х) = 2---
(х+1)4 (х+1)3
Вторая производная терпит разрыв при х = -1, этой точкой числовая ось делится на два промежутка: (- ∞,-1) и (-1, + ∞)
На промежутке: (- ∞,-1) y″ < 0, на этом промежутке кривая выпукла
На промежутке (0, + ∞) y″> 0, на этом промежутке кривая вогнута
Точек перегиба нет. Используя полученные данные строим график функции
