Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.
Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.
Монотонность функции y = f (x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) < 0, то функция убывает в этом промежутке.
Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f¤(x).
Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)
1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).
2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f (x).
Пример:
Найти промежутки монотонности функции у = - х2 + 10х + 7
Решение:
Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R
Найдем f¤(x). y¢ = -2х +10
Точек разрыва производная y¢ не имеет;
Найдем точки, в которых y¢ = 0
-2х +10 = 0
-2х = -10
х =5
Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:
на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,
на промежутке[5,+ ∞) y¢ < 0
Следовательно на промежутке (– ∞,5] функция возрастает, а на промежутке [5,+ ∞) функция убывает.
Экстремум функции
Точка х= х0 называется точкой максимума, функции y = f (x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х этой окрестности, кроме х0 выполняется неравенство f (x) < f (x 0).
Точка х= х0 называется точкой минимума, функции y = f (x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х этой окрестности, кроме х0 выполняется неравенство f (x) > f (x 0)..
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.
Точки экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f¤(x) = 0 или терпит разрыв.
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:
Если при переходе через критическую точку x 0 в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с + на –
ъ, то точка x 0 есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x 0 в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с - на +, то точка x 0 есть точка минимума.
Пример:
Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.
У = х3 –6х2 + 9х
Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R
Найдем f¤(x). y¢ = 3 х2 –12х +9
Точек разрыва производная y¢ не имеет;
Найдем точки, в которых y¢ = 0
3 х2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения
y¢ обращается в 0 при х1 = 1, х2 = 3,
Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:
(– ∞,1), [1,3] И (3,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:
на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,
на промежутке [1,3] y¢ < 0
на [3,+ ∞) y¢ > 0,
Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.
Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.
Найдем значения умах и умin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1
умin=27-54+27=0
умах=1-6+9=4
