Промежутки монотонности функции

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f (x) характеризуется знаком ее первой производной f ^¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ^¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ^¤ (x) < 0, то функция убывает в этом промежутке.

Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f^¤(x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ^¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ^¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f (x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = - х² + 10х + 7

Решение:

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f^¤(x). y¢ = -2х +10

 Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

-2х +10 = 0

-2х = -10

х =5

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

 на  промежутке   (– ∞,5] y¢ > 0,

на промежутке[5,+ ∞) y¢ < 0

Следовательно на промежутке (– ∞,5] функция возрастает, а на промежутке [5,+ ∞) функция убывает.

Экстремум функции  

Точка х= х₀ называется точкой максимума, функции y = f (x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х этой окрестности, кроме х₀ выполняется неравенство f (x) < f (x ₀).

Точка х= х₀ называется точкой минимума, функции y = f (x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х этой окрестности, кроме х₀ выполняется неравенство f (x) > f (x ₀)..

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точки экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f^¤(x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x ₀ в положительном направлении f ^¤ (x) меняет знак с + на –

ъ, то точка x ₀ есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x ₀ в положительном направлении f ^¤ (x) меняет знак с - на +, то точка x ₀ есть точка минимума.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

У = х³ –6х² + 9х

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f^¤(x). y¢ = 3 х² –12х +9

 Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

3 х² –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y¢ обращается в 0 при  х₁ = 1, х₂ = 3,

Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

 (– ∞,1), [1,3] И (3,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

 на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,

на промежутке [1,3] y¢ < 0

на [3,+ ∞)  y¢ > 0,

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения у_мах и у_мin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1

у_мin=27-54+27=0

у_мах=1-6+9=4