Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях

Цель работы: экспериментальное исследование переходных процессов в линейных неразветвленных электрических цепях с од- ним и двумя накопителями энергии.

 

32

Общие сведения

Переходные процессы возникают в цепях, содержащих ин- дуктивные катушки и конденсаторы, так как эти элементы обла- дают способностью накапливать и отдавать энергию соответст- венно магнитного и электрического полей. Возникновение пере- ходных процессов объясняется тем, что индуктивные катушки и конденсаторы являются инерционными элементами, то есть из- менение электрического и магнитного полей не может происхо- дить мгновенно. Расчет напряжений и токов на участках иссл е- дуемой электрической цепи во время переходного процесса про- изводят, пользуясь линейными дифференциальными уравнения- ми, составленными в соответствии с законами Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Определение токов и напряжений переходного режима сводится к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений. Решение л и- нейного дифференциального уравнения складывается из частно- го решения неоднородного уравнения и общего решения одно- родного уравнения:

 

i i пр i св; u u пр u св  ,

(7.1)

 

где

i пр, u пр

принужденные токи и напряжения, полученные в ре-

зультате частного решения;

i св, u св

свободные токи и напряже-

ния, полученные в результате решения однородного дифференци- ального уравнения.

Рассмотрим переходные процессы в электрической цепи при заряде конденсатора C от источника постоянной ЭДС E через ре-

зистор

R 1 (рис. 7.1, а – ключ K в положении 1) и при разряде кон-

денсатора C на резистор R 2

(рис. 7.1, а – ключ K в положении 2).

При замыкании ключа в положении 1 конденсатор C будет заря- жаться до тех пор, пока напряжение нем не станет равно напряжению

источника питания. Переходное напряжение на конденсаторе u c

дет изменяться по возрастающей экспоненте (рис. 7.1, б):

бу-

 

 

33

t u c  E  (1 e 1),

(7.2)

где 1

R 1 C

постоянная времени процесса заряда.

Переходный зарядный ток тоже изменяется по экспоненциаль- ному закону (рис. 7.1, б):

 

du   E  t i C C e , dt  R

(7.3)

Переходный процесс возникает и при разряде заряженного до напряжения E конденсатора C через последовательно включен-

ное сопротивление

R 2. При замыкании ключа K в положение 2

(рис. 7.1, а) переходные напряжения u c

и ток i уменьшаются,

асимптотически приближаясь к нулю, при этом переходное напря- жения на конденсаторе

t u c  E e 2,

(7.4)

а переходный ток

t i E e 2. R

(7.5)

Графики изменения тока и напряжения на конденсаторе пред- ставлены на рис. 7.1, в. При разряде конденсатора запасенная в нем энергия электрического поля преобразуется в тепло, которое выде-

ляется в сопротивлении

R 2. Длительность переходного процесса

при разряде конденсатора зависит от постоянной времени

2 R 2 C.

Включение в цепь разряда конденсатора катушки индуктивно- сти L (рис. 7.2, а), то есть еще одного реактивного элемента, при- водит к увеличению степени дифференциального уравнения, опи- сывающего переходные процессы в контуре:

d 2 i R  di 1 i 0, dt 2 L  dt LC

(7.6)

где R R 2 R L.

 

34

	а
б	в
Рис. 7.1

Дифференциальному уравнению (7.6) соответствует характери- стическое уравнение:

 

p 2 R p 1   0. L    LC

(7.7)

Если корни этого уравнения

R   R 2 1 p 1,2    2 L  4 L 2 LC

(7.8)

являются разными вещественными числами, что имеет место при соблюдении неравенства

 

R 2 L, C

(7.9)

то переходный ток разряда конденсатора определяется выражением

 

i Cp 1 p 2 U 0  (e p 1 t e p 2 t  ), p 2  p 1

(7.10)

 

35

а переходное напряжение на зажимах конденсатора – формулой

 

u     U 0 (p e p 1 t     p e p 2 t), c  p p   2             1 2   1

(7.11)

 

где напряжение U 0

u c (0

определяется начальными условиями.

При этом, как видно из выражений (7.10) и (7.11), величины i и

u c в течение переходного процесса сохраняют неизменное направ-

ление и заряд конденсатора будет апериодическим (рис. 7.2, б).

 

а
б	в
Рис. 7.2

Аналогичные переходные процессы имеют место при равных

корнях

p 1, p 2

характеристического уравнения (7.7), когда значе-

ние сопротивления R, называемого критическим, определяется формулой

 

R  2 L. кр       C

(7.12)

Если параметры R, L, C таковы, что

 

R 2 L, C

(7.13)

 

36

корни характеристического уравнения (7.7) будут комплексными и сопряженными:

 

p 1,2             j 0,

(7.14)

где

 

1  R 2 0     LC 4 L 2,	(7.15)
R. 2 L	(7.16)

В этом случае в цепи будет наблюдаться затухающий колеба- тельный переходный процесс (рис. 7.2, в) с угловой частотой собст- венных колебаний 0, при котором переходный ток и переходное напряжение на зажимах конденсатора определяется выражениями:

 

i U 0 e t   sin(t  ), L                  0 0	(7.17)
u      U 0     e t   sin(t ). c            LC                 0 0	(7.18)

Программа работы

1. Определить параметры схем замещения реактивных элемен- тов: конденсатора С и катушки индуктивности L с внутренними

сопротивлениями R C

подавателя).

и R L

соответственно (согласно заданию пре-

2. Собрать схему рис. 7.1, а, подключить осциллограф к обклад- кам конденсатора.

3. Получить на экране неподвижное изображение процессов за- ряда-разряда конденсатора по схеме рис. 7.1, а с одним накопителем энергии. Проделать опыт для трех различных значений сопротивле-

ний

R 1 и

R 2. Скопировать осциллограммы переходных процессов.

Записать параметры схем.

4. Собрать схему рис. 7.2, а, подключить осциллограф к обклад- кам конденсатора.

 

37

5. Исследовать переходные процессы в электрической цепи с двумя накопителями энергии, проведя три опыта при различных со- отношениях параметров схемы.

5.1. R 2 R L R C

5.2. R 2 R L R C

5.3. R 2 R L R C

2 L.

C

2 L.

C

2 L.

C

Скопировать осциллограммы переходных напряжений на об- кладках конденсатора и записать параметры схем, при которых эти осциллограммы были получены.

6. По результатам опытов пункта 3 вычислить значения посто- янных времени  1  и      2 для проведенных опытов.

7. По осциллограмме для колебательного процесса (п. 5.3) опре-

делить период и частоту собственных колебаний и сравнить их со значениями, полученных из соотношения (7.15) по известным пара- метрам схемы.

8. Из соотношения (7.15’) определить индуктивность катушки по данным опыта согласно п. 5.3 и сравнить с результатом, полу- ченным в п. 1:

4  16  16 R 2 C 2 2 L                              0. 1,2                 8 C   2 0

(7.15’)

Сод ер жание о тчета:

− схемы рис. 7.1, а, 7.2, а;

− осциллограммы проведенных опытов;

− расчеты согласно п.п. 6 8;

− выводы.

 

Контрол ь ные вопр о сы и зад ания

1. Объясните физическое содержание и физические причины переходных процессов.

 

38

2. Какие соотношения существуют между переходными и сво- бодными токами и напряжениями?

3. Как формулируются законы коммутации?

4. Что называют постоянной времени электрической цепи? Ка- ков ее физический смысл?

5. Каково влияние параметров электрических цепей на характер и продолжительность переходного процесса?

6. Куда расходуется энергия при разряде конденсатора?

7. Какие условия должны быть соблюдены для апериодического и колебательного разрядов конденсатора?

8. От чего зависит период колебаний тока при разряде конден- сатора?

9. Какую опасность представляет собой размыкание цепей, со- держащих катушки с большой индуктивностью?

10. Почему конденсатор сравнительно большой емкости после его отключения от источника питания представляет опасность для жизни человека?

 

 

Л аборатор ная ра бот а № 8