Расчет параллельных цепей переменного тока

Методика (с примером) решения задач на тему: Электрические цепи с параллельным соединением активного, емкостного и индуктивного сопротивлений.

Цель: рассчитать напряжения, токи на элементах цепи. Построить диаграмму напряжений и токов.

Теория.

Для такой цепи характерно то, что электроприемники, соединенные параллельно, находятся под общим напряжением. Ток каждой ветви определяется по закону Ома: I ₁ = U / Z ₁,где Z ₁ = √ R ₁ ² + X_{L 1} ², I₂ = U /Z₂, где Z₂ =√ R ₂ ² + X_{C 2} ².

Углы сдвига фаз φ₁ и φ₂ между током и напряжением каждой ветви определяются с помощью тригонометрических функций:
cos φ₁= R₁ / Z₁ и sin φ₁= X_L1 / Z₁, cos φ₂= R₂ / Z₂ и sin φ₂= - X_C2 / Z_2.

Угол сдвига фаз обязательно следует проверять по синусу во избежание потери знака угла (cos является четной функцией), но находить его тоже нужно. Он потребуется в дальнейшем расчете цепи.
Общий ток цепи следует из I закона Кирхгофа, он равен сумме токов ветвей:

I = I₁ + I_2.

Векторная диаграмма этих токов:

Общий суммарный или результирующий ток можно найти не только графически (диаграмма строится в масштабе), но и математически, на основании теоремы Пифагора: I = √ I_a ² +I _p ², где I _a – проекция вектора общего тока на вектор напряжений, она называется активной составляющей общего тока, где I_р – проекция вектора общего тока на линию, перпендикулярную линии напряжения, она называется реактивной составляющей общего тока. Из диаграммы видно, что I_а= I_а1 + I_а2, I_р=I_L1 - I_С2.

В этих формулах: I_а1 и I_а2 - активные составляющие токов первой и второй ветви.
I _L1 - реактивные составляющие тока первой ветви. Она носит индуктивный характер и поэтому взята знаком “плюс”.
I_с2 - реактивные составляющие тока второй ветви. Она носит емкостной характер и поэтому взята знаком “минус”.

Введем формулу общего тока: I =√ (I_a1 + I_{a 2}) ² + (I_L1 - I _C2) ²

Значения составляющих токов ветвей можно определять по формулам:
I _а1 = I ₁ cos φ₁; I _а2 = I ₂ cos φ₂; I_{L 1} = I ₁ sin φ₁; I_{C 2} = I ₂ sin φ_2.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей ветвей: Р = Р₁ + Р₂, где Р₁ = U I ₁ cos φ₁ или Р₁ = I ₁ ² R ₁, Р₂ = U I ₂ cos φ₂ или Р₂ = I ₂ ² R _2.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ветвей: Q =Q_L1 - Q_C2, где Q_L1= U I₁ sin φ₁ или Q_L1 = I₁² Х _L1, Q_С1= U _I² sin φ₂ или

Q_С2 = I₂² Х _С2.

Активную и реактивную мощность можно найти и так: Р = UI cos φ или

Q = U I sin φ, г де cos φ = (I _а1 + I _а2) / I, sin φ = (I_{L 1} - I_{C 2}) / I,
cos φ и sin φ используют также для определения угла сдвига фаз между общим током и напряжением.
Полная мощность цепи: S =U I или S = √ P ² + Q ²
Угол сдвига фаз между общим током и напряжением можно определять и из выражений: cos φ = Р / S, sin φ = Q / S

Пример задачи параллельного соединения
Дано: U = 540 B, R₁ = 28,8 Oм, X_L1 =21,6 Oм, R₂ = 45 Oм, X_C3=20 Oм.

Определить: I₁, I₂, I₃, I, P, Q, S, cos φ, построить векторную диаграмму токов в масштабе.

Решение.

1.Полное сопротивление первой (левой) ветви Z₁=√ R ₁ ² + X_{L 1} ² = = √ 28,8² +21,6 ² = 36 Oм.
Косинус и синус угла сдвига фаз φ₁ между напряжением и током левой ветви:
cos φ₁ = R₁ / Z₁ = 28,8 / 36= 0,8; sin φ₁ =X _L1 / Z₁ = 21,6 / 36 = 0,6
Ток в первой ветви I₁ = U / Z₁ = 540 / 36 = 15 A.
Активная и реактивная составляющая тока первой ветви:
I_а1 = I₁ cos φ₁ = 15 · 0,8 =12 A; I_L1 = I₁ sin φ₁ = 15 · 0,6 = 9 A

2.Во второй (средней) ветви дано только активное сопротивление, поэтому ее ток I₂ = I_2a = U / R₂ = 540 В / 45 Ом = 12 A.
Он совпадает по фазе с напряжением и носит активный характер, угол сдвига фаз между этим током и напряжением φ₂ = 0.
Реактивная составляющая тока в этой ветви отсутствует I_2P = I₂ sin φ₂ = 12 · 0= 0

3.В третьей (правой) ветви дано только емкостное сопротивление, поэтому ее ток I₃ = I _C3 = U/X_С3= 540 В / 20 Ом = 27 A.Этот ток опережает напряжение на угол φ₃ = - 90°.
Активная составляющая тока этой ветви равна нулю I _a3 = I₃ cos φ₃ = 27 cos (- 90◦) = 0

4. Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I = √ (I _a1 + I _{a 2}) ² + (I _L1 -  I _C3 ) ² = √ (12+12)²+(9-27)² = 30 A.

5.Определяем коэффициент мощности всей цепи:

cos φ = (I _a1 + I _{a 2}) / I =(12+12)/ 30=0,8

6.Угол сдвига фаз находим по синусу во избежание потери знака угла (косинус является четной функцией) sin φ =(I _{L 1} - I _{C 3}) / I = (9- 27) / 30 = - 0,6.
Используя таблицу или калькулятор, находим угол φ = -36° 52´

7.Определяем активную мощность цепи:
Р = UI cos φ = 540·30·0,8 = 12960 Bт или Р = Р₁ + Р₂, где Р₁ = UI₁ cos φ₁ или

Р ₁ = I₁²R₁ , Р ₂ = UI₂, или Р ₂ = I₂²R₂.

8.Реактивная мощность цепи равна Q = U I sin φ = 540 · 30 · (- 0,6)= -9720 вар
Знак “минус” говорит о преобладании емкостного характера нагрузки над индуктивным. Эту мощность можно найти и так:
Q =Q_L1 - Q _C3, где Q_L1= U I₁ sin φ₁ или Q_L1 = I₁² Х _L1, Q_С3= U I₃ sin φ₁ или Q_С3 = I₃² Х _{C 3}

Активную и реактивную мощность можно найти и так: Р = UI cos φ,  

Q= U I sin φ

9.Определяем полную мощность цепи S = U I =16200 ВА. Эту мощность можно найти и так: S = √ P ² + Q ².