Методика оценки достижений

3.1 Для оценки достижений студента используется

балльно-рейтинговая система:

· В каждом семестре студент должен выполнить домашнюю контрольную работу из двух частей. После её проверки студент получает баллы (рейтинг)

Код	Вид оценочного средства	Максимальный балл	Зачтённая работа, баллы	Незачёт, баллы
Дз-3 Часть 1	Домашняя контрольная работа (ДКР)	20	11– 20	0 – 10
Дз-3 Часть 2	ДКР	20	11– 20	0 – 10
Э-2	Экзамен	60	26 – 60	0 – 25

· Допуском до экзамена является  набранные за семестр 25 баллов при зачтённой каждой части контрольной работы. При недопуске студент исправляет ошибки в своей работе либо выполняет дополнительные задания для набора не менее 25 баллов;

· На экзамене в каждом билете имеется по 6 практических задач, каждая оценивается по 10 баллов, на их выполнение даётся 2 часа. Допускается использование дополнительной литературы. Для получения оценок 4 и 5 требуется ответить на несколько теоретических вопросов без применения литературы;

· При наборе на экзамене менее 26 баллов экзамен является несданным и выставляется неудовлетворительная оценка (независимо от набранных в семестре баллов);

· Оценкой за семестр является общий суммарный рейтинг в виде суммы баллов, накопленных за семестр, и полученных на экзамене. Оценка выставляется при наборе не менее 60 баллов с указанием этой суммы и соответствующей оценки.

Оценка по 5 бальной шкале	Зачет	Сумма баллов по дисциплине	Оценка (ECTS)	Градация
5 (отлично)	Зачтено	90-100	А	Отлично
4 (хорошо)		85-89	В	Очень хорошо
		75-84	С	Хорошо
		70-74	D	Удовлетворительно
3 (удовлетворительно)		65-69
		60-64	Е	Посредственно
2 (неудовлетворительно)	Не зачтено	Ниже 60	F	Неудовлетворительно

 

Вопросы экзамена

 

1. Область нескольких переменных, окрестность точки. Открытая и замкнутая области нескольких переменных. Функции нескольких переменных (ФНП): определение, способы задания. Геометрический смысл Z=f(x,y), линии уровня.

2. Предел ФНП в точке. Непрерывность ФНП в точке. Основные свойства непрерывных ФНП.

3. Определение частной производной ФНП, правила их вычисления. Геометрический смысл частных производных для Z=f(x,y). Уравнение касательной плоскости и нормали.

4. Полный дифференциал ФНП, связь с Δf, инвариантность его формы. Полная производная по переменной t. Производная неявной функции.

5. Производная по направлению. Градиент функции: определение, правила вычисления, связь с производной по направлению и с линией (поверхностью) уровня.

6. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных ФНП. Дифференциалы высших порядков для ФНП, их коэффициенты для f(x, y) (треугольник Паскаля и бином Ньютона). Формула Тейлора для ФНП. Приближенные вычисления.

7. Точки экстремума ФНП. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума в общем виде и для f(x, y), характер экстремума.

8. Условный экстремум ФНП. Метод множителей Лагранжа и метод подстановки.

9. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой ограниченной области (план).

 

10. Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ): ДУ, его решение, общее и частное решения, начальные и краевые условия, интегральная кривая, задача Коши. Теорема Коши для ДУ первого порядка.

11. ДУ с разделенными и разделяющимися переменными, их решения. Сведение текстовой задачи к решению ДУ на примере задачи о распаде радия и о непрерывном растворении соли (или другой задачи).

12. Однородные функции двух переменных. Общий вид и правило интегрирования однородных диф. уравнений. Уравнения, приводящиеся к однородным, их интегрирование.

13. Линейные ДУ первого порядка, методы Бернулли и Лагранжа для их интегрирования.

14. Уравнение Бернулли, его интегрирование непосредственно и сведением к линейному ДУ.

15. Уравнение в полных дифференциалах: общий вид, правило интегрирования и физический смысл (потенциальность плоского векторного поля).

16. Методы Эйлера и изоклин приближенного построения интегральных кривых.

17. Решение ДУ в виде степенного ряда, два способа нахождения его коэффициентов;

18. ДУ второго порядка. Случаи ДУ, допускающих понижение порядка.

19. Линейное ДУ второго порядка: общий вид, свойства решений, структура общего решения.

20. Линейная зависимость системы функций. Определитель Вронского. Теорема о связи определителя Вронского с линейной зависимостью решений линейного однородного ДУ. Фундаментальная система решений и общее решение при этом.

21. Линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами: общий вид, метод Эйлера его решения, характеристическое уравнение. Общее решение линейного ДУ при известных корнях характеристического уравнения:

а) корни действительные, различные;

б) корни кратные;

в) корни комплексные, сопряженные.

22. Нахождение частного решения линейного неоднородного ДУ при неоднородности специального вида (метод подбора):

а) P_n (x); б) P_n (x)^. e^ax;в) e^{ax .} (Acos (bx) + Bsin (bx)); г) Сумма функций.

  Нахождение коэффициентов предполагаемого решения.

23. Нахождение частного решения линейного неоднородного ДУ методом вариации постоянных.

24. ДУ, описывающее механические колебания. Случаи свободных, затухающих, вынужденных колебаний. Случай резонанса.

25. Каноническая и нормальная формы системы ДУ. Решение системы ДУ, общее и частное решения. Начальные условия. Теорема о существовании и единственности решения системы ДУ.

26. Сведение ДУ к системе ДУ в нормальной форме, системы ДУ к одному дифференциальному уравнению (метод исключения).

27. Системы линейных уравнений, свойства решений однородных систем и неоднородных систем ДУ. Определитель Вронского системы ДУ, его свойства. ФСР системы ЛОДУ.

28. Нахождение решений линейной однородной системы методом исключения.

29. Нахождение решений линейной однородной системы с помощью собственных векторов.

30. Нахождение решений линейной неоднородной однородной системы методом вариации постоянных.

 

3.3ПРИМЕР ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

Справочник

· Интеграл является несобственным первого рода (НИ1), если f (x) непрерывна и хотя бы один из частичных пределов на концах промежутка интегрирования бесконечен;

· От непрерывной функции f (x) НИ1 вида сходится, если существует конечный предел ;

· Необходимое условие сходимости НИ1: .

Из     следует расходимость ряда;

· Если , то

А) Из сходимости  следует сходимость ;

Б) Из расходимости  следует расходимость ;

· Если , то  и  сходятся либо расходятся одновременно;

· Если , то  сходится при , при  он расходится;

· Если интеграл  сходится и сходится , то сходимость абсолютная; при расходимости  сходимость исходного интеграла условная;

· Для несобственного интеграла второго рода (НИ2)функция f (x) имеет на отрезке интегрирования точки, где её предел бесконечен либо не существует;

· НИ2  с одной особой точкой х=а сходится, если существует конечный предел ;

· Если , то  и  сходятся либо расходятся одновременно;

· Если , то НИ2  сходится при , при  он расходится;

· Числовой ряд  ,

− частичная сумма ряда;

· Если − общий член ряда, то записывают , ;

· Ряд сходится, если существует конечное число ,

тогда S− сумма ряда, ;

· Геометрическая прогрессия со знаменателем q  ,

она сходится только при ,

её частичная сумма     даёт ;

· Необходимое условие сходимости .

Из     следует расходимость ряда;

· Для знакоположительных рядов () выполнено

1) Признак Даламбера: если существует ,

    то ;

2) Признак Коши (радикальный): если существует ,

то ;

Напоминание: ;

3) Интегральный признак: Если найдётся непрерывная функция , что выполнено , то числовой ряд  и несобственный интеграл  одновременно сходятся либо одновременно расходятся;

4)  Признак эквивалентности: Эквивалентные знакоположительные ряды одновременно сходятся либо одновременно расходятся.   Если , то при  ряд сходится, при  ряд расходится;

· Знакопеременный ряд сходится абсолютно, если ряд  сходится и сходится ряд . Если  сходится, но ряд  расходится, то ряд сходится условно и можно подобрать перестановку и (или) группировку его элементов, при которой сумма ряда станет заданным произвольно числом;

· Теорема Лейбница: Если  знакочередующийся,

  То А) При выполнении  ряд сходится;

         Б) Для сходящегося ряда выполнено ;

         В) Знак разности  совпадает со знаком числа ;

· Функциональный ряд  является степенным с центром сходимости . Внутри интервала сходимости  он сходится и вне такого интервала расходится.

·  Радиус сходимости степенного ряда

  а)   ; б)  ;

· Ряд Тейлора , где ;

· Основные разложения Маклорена в степенной ряд ():

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

· Теорема Коши: Если дифференциальное уравнение (ДУ) имеет вид , где F непрерывная функция и в некоторой области существуют и конечны производные  ,

ТО для всякого начального условия из такой области найдётся решение ДУ и такое решение единственно;

· ДУ с разделяющимися переменными, если , для него общий интеграл , частный интеграл ;

· Функция однороднаяизмерения k, если . При однородности нулевого измерения ;

· Однородное ДУ имеет вид , где  однородные одинакового измерения. Его можно представить в виде .

Выполнив замену  , получим

уравнение с разделяющимися переменными, в его общем решении

или в общем интеграле выполняется обратная замена;

· Линейное ДУ   . Метод Бернулли: ищем решение в виде   и требуем выполнения    т.е. , тогда ;

· Уравнение Бернулли . Уравнение интегрируется методом Бернулли      либо сведением к линейному ДУ заменой ;

· ДУ в полных дифференциалах  при выполнении , его общее решение , где функция  находится из условий ;

· Уравнение

при  является Линейным Однородным ДУ (ЛОДУ),        в противном случае ЛНДУ;

· Определитель Вронского для функций   находится ;

· Для n решений ЛОДУвыполнено:

1) Они линейно независимы ;

2) Они линейно зависимы ;

· Если дано ЛОДУ  , то характеристическое уравнение .

· Если , то  ,

А) ;

Б) ;

В) ,

, ;

· Если дано ЛНДУ

то решение ищем в зависимости от корней характ-го ур-я

Вид неоднородности	Вид решения
	− кратность корня
	− кратность корня
	− кратность корня
	− кратность корня
	− кратность корня ,
	,  где − решение при неодн-ти − решение при неодн-ти

− известный многочлен степени n и А - известное число,

− многочлен, для которого применяем метод неопределенных коэффициентов. Для этого предполагаемую функцию и её производные подставляем в исходное ДУ и приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях правой и левой частей уравнения. Решение полученной системы и есть коэффициенты в решении;

· После нахождения  записывают общее решение для ЛНДУ в виде . После этого учитывается начальное условие и выделяется частное решение при подстановке необходимых ;

· Метод вариации постоянных: Для ЛНДУ ищем решение соответствующего ЛОДУ и находим фундаментальную систему решений (ФСР) . Тогда можно искать решение неоднородного уравнения в виде , где для производных неизвестных функций  выполнено

· Система дифференциальных уравнений        с двумя искомыми функциями  и  имеет порядок  (сумма старших порядков производных).           В каноническом виде она записывается . К нормальному виду перейдём с увеличением числа искомых функций

,

, ;

·  Решение системы ДУ методом исключения

 1) ; 2) , ;

 2) ;

 3) ,

общее решение ;

 4) ,

;

5) Общее решение системы

или   т.е. собственные числа   и , их собственные векторы              и коллинеарные им векторы;

· Виды интегральных кривых (траекторий) и точки покоя для линейной однородной системы  2-го порядка с постоянными коэффициентами (в зависимости от собственных чисел) эффициентами внородной системы с постоянными аходим фундаментальную систему решений (ФСР)

1) действительные числа одного знака. Получаем искривленные параболы с общей вершиной, их ось задаёт один из собственных векторов (с наибольшим ). Точка покоя ─ узел.

1.1) При  точки удаляются от вершины с возрастанием

      параметра t (времени), узел неустойчивый;

1.2) При  точки приближаются к вершине с 

     возрастанием времени, узел устойчивый;

2) действительные числа разных знаков, . Получаем искривленные гиперболы с общим центром, для которых собственные векторы задают асимптоты. Их точки удаляются от центра и с возрастанием параметра t (времени)приближаются к оси, заданной вектором  (с положительным ). Точка покоя ─ седло;

3)  чисто мнимые. Получаем множество искривленных эллипсов с общим центром в начале координат и осями по собственным векторам. Точка покоя ─ центр;

4)  комплексно-сопряженные. Получаем множество спиралей с бесконечным числом витков. Точка покоя ─ фокус.

4.1) Если , то при вращении вокруг центра точки

     удаляются от него с возрастанием времени,

      фокус неустойчивый;

4.2) Если , то при вращении вокруг центра точки

     приближаются к нему с возрастанием времени,

      фокус устойчивый;

5) При  получаем множество прямых, параллельных между собой и собственному вектору .

5.1) При   с возрастанием времени точки удаляются в обоих направлениях от прямой, заданной вектором ;

5.2)При   с возрастанием времени точки приближаются в обоих направлениях к прямой, заданной вектором ;

 

Рекомендуемая литература

5.1 Основная литература:

1. 517(075)Ш 63
Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. пособие для бакалавров / В. С. Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2012. - 447 с. - (Бакалавр, Базовый курс). - Рек. М-вом образования и науки РФ. - ISBN 978-5-9916-2031-4: 316-91.
Кол-во экземпляров: всего - 10

2. 517(075)Б 74

Богомолов Н. В. Математика: учеб.для бакалавров / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2013. - 396 с. - (Бакалавр, Базовый курс). - Допущено М-вом образования и науки РФ.

- ISBN 978-5-9916-2568-5: 336-55.
Кол-во экземпляров: всего – 15

3. Фролов С.В. Высшая математика [ Электронный ресур с]: учеб. пособие/ Фролов С.В., Багаутдинова А.Ш.— [ Электрон. текстовые данные ]— СПб.: ГИОРД, 2012. — 616 c.— Режим доступа: ЭБС «IPRbooks», по паролю

4. Туганбаев А. А. Основы высшей математики: учеб.пособие для ВПО/А. А. Туганбаев. – 1-е изд. [ Электронный ресурс] — СПб.: Лань, 2011. — 491 с.

- Режим доступа «ЭБС ЛАНЬ»

 

5.2 дополнительная литература:

5. 517(075) Б 50

Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа: учеб.для вузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. - 10-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2003. - 736 с. - (Учебники для вузов, Специальная литература). - Библиогр.: с. 736.

- ISBN 5-8114-0499-9: 280-00.
Кол-во экземпляров: всего – 30

6. 517(075) Д 17

Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: Оникс 21 век: Мир и Образование, 2003. - 416 с.: ил. - С решениями. - ISBN 5-329-00528-0: 72-00. - ISBN 5-94666-009-8: 65-00. - ISBN 5-329-00327-X.
Кол-во экземпляров: всего – 52

7. 517 З-17

Зайцев И. А. Высшая математика: [учеб.пособие] / И. А. Зайцев. - 4-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2005. - 398 с.: ил. - (Высшее образование). - Библиогр.: с. 392. - Рек. М-вом образования РФ для с.-х. вузов. - ISBN 5-7107-9071-0: 146-85.
Кол-во экземпляров: всего - 25

Методическое обеспечение

8. Золотарёв А.П. «Числовые и функциональные ряды». Учебно-методическое пособие по курсу «Математика». – Новоуральск, изд. НТИ, 2005. – 26 с.

5.4 Информационное обеспечение (включая перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»)

1 http://nsti.ru

2 научная библиотека e-librari

3 ЭБС «Лань»

4 ЭБС «IPRbooks»

 

 

Орлов Ю.В. Учебно-методический комплекс (УМК)

дисциплины«Математика, 3 семестр». Учебно-методическое пособие для бакалавров заочной формы обучениянаправления 38.03.02 «Менеджмент».

– Новоуральск, изд. НТИ НИЯУ МИФИ, 2015. – 56 с.