Всякое несвободное тело можно освободить от связей, заменив их действие реакциями, и рассматривать тело как свободное, находящееся под действием приложенных сил и реакций связи.

Проекцией вектора силы  на ось  называется скалярная величина, равная со знаком плюс или минус длине отрезка  оси, заключённого между проекциями начала и конца данного вектора. Проекция считается положительной, если направление отрезка  совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной ― в противном случае.

Из рисунка видно, что проекции вектора силы на параллельные и одинаково направленные оси  и  будут одинаковы. Поэтому проекция  равна с соответствующим знаком катету  в прямоугольном треугольнике :

.

 

Заметим, что эта формула остаётся справедливой и в случае, когда  ― тупой угол. В самом деле

 

.

 

 

Таким образом, проекция вектора силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси, причём

Очевидно, проекция вектора  на ось  равна с соответствующим знаком катету  в прямоугольном треугольнике :

 

 

 

Алгебраическим моментом любой силы плоской системы сил относительно точки (центра), называется скалярная величина, равная со знаком плюс или минус произведению модуля силы на плечо.

 

m_O ()=  Fh                                                   

Договоримся о следующем правиле знаков

 

                                                                           

-

          h                                                      h          

 

       

 

           О                                                   О                

 

         m_O()> 0                                        m_O() < 0                       

Перпендикуляр опущенный с центра моментов на линию действия силы называется плечом силы   относительно 0.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через центр моментов (отсутствует плечо).

Если тело находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то силы, действующие на тело, должны удовлетворять трем условиям равновесия, которые можно записать в трех различных формах:

1-я (основная) форма условий равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма моментов сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю, то есть

∑ _k =0; ∑ _k =0; ∑ m ₀ ( _k) = 0.

2-я форма условий равновесия,

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух произвольных точек, лежащих в плоскости действия сил, и сумма проекций всех сил на ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через эти точки, были равны нулю, то есть

∑m_A ( _k) = 0; ∑m_B ( _k) = 0; ∑ _k =0.  

3-я форма условий равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из трех произвольных точек в плоскости действия сил, не лежащих за одной прямой, была равна нулю, то есть

∑ m_A ( _k) = 0; ∑ m_B ( _k) = 0; ∑ m_C ( _k) = 0  

Заметим, что число неизвестных в уравнениях равновесия произвольной плоской системы сил должно быть не более трех, чтобы задача была статически определимой.

Условия равновесия плоской системы параллельных сил можно записать в двух формах:

1-я (основная) форма условий равновесия.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, и сумма моментов всех сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю, то есть

∑ _k = 0; ∑ m ₀ ( _k) = 0.

2-я форма условий равновесия.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух произвольных точек, лежащих в плоскости действия сил так, что прямая, проходящая через эти точки, не параллельна силам, была равна нулю, то есть

∑ m_A ( _k) = 0; ∑ m_B ( _k) = 0.    

Число неизвестных в этих уравнениях должно быть не более двух.

 

Методические указания к решению задач

Последовательность операций, указанных в практическом занятии № I, сохраняется и при решении задач на равновесие плоской системы сил.

Если в задаче заранее неизвестно направление какой-нибудь реакции, то эту реакцию следует представить в виде двух составляющих, направленных параллельно координатным осям в их положительную сторону.

Если в ходе решения задачи обнаружится, что величина какой-нибудь составляющей получится отрицательной, то это означает, что ее действительное направление противоположно выбранному на рисунке.

При решении задач желательно составлять такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина. Для этого оси координат следует направлять перпендикулярно к неизвестным силам. За центр моментов следует брать точку пересечения линий действий двух неизвестных сил.

При решении задач на равновесие плоской системы параллельных сил ось координат целесообразно выбирать параллельно действующим силам, а центр моментов - на линии действия неизвестной силы.

Договоримся впредь не изображать на отдельном рисунке объект, освобожденный от связей. Все действующие силы будем указывать на рисунке с изображением данной конструкции.

 

Задача № 1  Из практикума № 7 (4.15 М)

  Однородная балка АВ  весом Р= 100 Н прикреплена к стене шарниром А и удерживается в равновесии под углом α = 45⁰   к вертикали при помощи троса, перекинутого через блок С и несущего груз G. Ветвь троса ВС образует с вертикалью угол   β =30⁰. В точке D к балке подвешен груз Q  весом 200Н.

О п р е д е л и т ь     вес груза G  и реакции шарнира А, пренебрегая трением, если В D = АВ.                                                                       

 

 

                                                                                 Дано:

                                                                                           Р= 100 Н

                                                                                           α = 45 ⁰

                                                                                                                                          β =30⁰.     

                                                                                           Q  = 200Н

                                                                                           В D = АВ

                                                                                         Определить: G,

 

Р е ш е н и е

1. Объект равновесия: балка АВ.

Применяем аксиому связей

Всякое несвободное тело можно освободить от связей, заменив их действие реакциями, и рассматривать тело как свободное, находящееся под действием приложенных сил и реакций связи.

2. Силовая схема свободного объекта:

а) активные силы: - сила тяжести, приложенная посередине балки;

б) реакции связей: в точке А - ШНО (цилиндрический шарнир). Поскольку _А заранее неизвестна по величине и направлению, то будем реакцию _А изображать в виде двух составляющих _{А А}, в точках В и D гибкая связь Реакции гибкой связи -  , . 

Даем характеристику системы:

S(  , , _{А, А} ) - произвольная плоская система сил, три неизвестных, можем составить три уравнения равновесия, задача является статически определимой

3. Условия равновесия.

Воспользуемся 1-й формой условий равновесия плоской системы сил. За центр моментов выберем точку А, работаем с правой системой координат.

 

∑ _k = 0; – G sinβ +  X_A =  0;

∑ _k = 0; G cosα  – Q – P+ Y_A  = 0;

∑m_B ( _k) = 0;  - G AB  sin(α + β) + Q  sin α + P ∙  sinα = 0.

4. Решение уравнений.

Из последнего  уравнения находим

G = (Q sin α + P ∙ sinα)/ sin (α + β); G = 146 кН.

Из второго уравнения получаем

Y_A = - G cosα  + Q + P; Y_A = 173 кН.

   Из первогоуравнения следует

X_A = G sinβ;  X_A =73 кН.