Геометрический закон распределения.

Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,…., m,….(бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями)

 

Р(Х=m)=pq^m-1, где 0<p<1, q=1-p. (15)

М(Х)= ,    (16)

D(X)= .      (17).

Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого события Х, вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна р. Примером может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и сохраняет постоянное значение. Число произведённых выстрелов будет случайной величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа.

  Гипергеометрический закон распределения.

Дискретная с лучайная величина Х=m имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N,M,  если она принимает значения 0,1,2,…,m,..

C вероятностями                      (10),

Где n, M, N – натуральные числа.

(11)

 (12).

Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных следующему:

В урне N шаров, из которых M белых, а остальные черные. Из нее наудачу вынимается n шаров. Требуется найти вероятность того, что среди них будет ровно m белых, а остальные – черные. Случайная величина Х – число белых шаров, извлеченных из урны

Задания в классе.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.

xi	0	1	3	5
pi	0,15	0,3	0,5	*

Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

2. Даны законы распределения  двух случайных величин Х и Y:

 

xi	-2	0	1
pi	0,2	0,5	0,3

yi	0	1	4
pi	0,3	0,1	0,6

 Найти закон распределения случайных величин а)Z=2X+Y; б)U=XY.

 

3. Известно, что М(Х)=8, М(Y)=3, D(Х)=2, D(Y)=5. Найти математическое ожидание  и дисперсию случайной величины Z=5X-2Y+9.

 

4. В группе из 21 студента 5 девушек. Из этой группы случайным образом выбирается 3 студента. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа девушек среди отобранных студентов. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти М(Х).

 

5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов до первого попадания.

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелов составит от 5 до 10.   

7. Монета бросается 5 раз. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Построить для Х а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

8. Из вазы, содержащей 4 белых и 6 красных роз случайным образом извлекается 3 цветка. Случайная величина Х- число белых роз в выборке. Описать закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 

9. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х – опробования ключей при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях а) участвует; б) не участвует.

 

10. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Случайная величина Х – число выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.

 

 

Задания на дом.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.

xi	0	1	3	5
pi	0,15	0,3	0,5	*

Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

 

2. Даны законы распределения  двух случайных величин Х и Y:

 

xi	-2	0	1	4
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

yi	-2	0	1	2
pi	0,2	0,2	0,3	0,3

 Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайных величин а)Z=X+2Y; б)U=XY.

 

3. Известно, что М(Х)=6, М(Y)=-3, D(Х)=3, D(Y)=2. Найти математическое ожидание  и дисперсию случайной величины Z=3X-5Y+7.

 

4. В урне находятся  15 шаров, среди которых 6 белых, остальные черные. Из этой урны случайным образом выбирается 4 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа белых шаров среди отобранных. Найти М(Х).

 

5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,05. Необходимо: а) составить закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов до первого попадания; б) найти ее математическое ожидание и дисперсию; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 4 выстрелов.

6. Устройство состоит из 1000 элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,001. Необходимо: а) составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших за время Т элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время Т откажет хотя бы один элемент.

 

7. На одной улице расположено 4 перекрестка, которые регулируются светофорами. Вероятность проехать каждый перекресток без остановки случайному автомобилю везде одинакова и равна 1/3. Случайная величина Х – число перекрестков, которые автомобиль проедет без остановки. Построить для Х а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

 

8. Студент знает 2 вопросов из 30. Экзаменатор задает ему 5 вопросов. Оценка пять ставится за 5 правильных ответов из 5; четверка – за 4 из 5 и т.д. Найти математическое ожидание оценки студента и наиболее вероятную оценку.

 

9. Завод выпускает 96% изделий 1 сорта и 4% изделий 2 сорта. Наугад выбирается 1000 изделий. Случайная величина Х – число изделий 1 сорта в выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Определить вероятность того, что в выборке будет от 3 до 30 изделий 2 сорта.

 

Решение:

1. Известно, что : так как сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке есть величина равная 1, следовательно *=1-(0,15+0,3+0,5)=0,05. Т.е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение 5, равна 0,05.

.

2,05.

= 0,925.

= .

2. Даны законы распределения  двух случайных величин Х и Y:

 

xi	-2	0	1
pi	0,2	0,5	0,3

yi	0	1	4
pi	0,3	0,1	0,6

 Найти закон распределения случайных величин а)Z=2X+Y; б)U=XY

Решение: Составим вспомогательную таблицу:

2X+Y	yj	0	1	4
2xi	pi      pj	0,3	0,1	0,6
-4	0,2	-4           0,06	-3            0,03	0     0,12
0	0,5	0              0,15	1              0,05	4      0,30
2	0,3	2              0,09	3              0,03	6      0,18

zi	-4	-3	0	1	2	3	4	6
pi	0,06	0,03	0,27	0,05	0,09	0,03	0,30	0,18

Убедимся, что условие  выполнено.

.

zi2	16	9	0	1	4	9	16	36
pi	0,06	0,03	0,27	0,05	0,09	0,03	0,30	0,18

Б) аналогично составляем таблицу для U=XY

 

XY	yj	0	1	4
2xi	pi       pj	0,3	0,1	0,6
-4	0,2	0          0,06	-4            0,03	-16   0,12
0	0,5	0              0,15	0              0,05	0      0,30
2	0,3	0             0,09	2              0,03	8      0,18

 

ui	-16	-4	0	2	8
pi	0,12	0,03	0,64	0,03	0,18

.

ui2	256	16	0	4	64
pi	0,12	0,03	0,64	0,03	0,18

3. Известно, что М(Х)=8, М(Y)=3, D(Х)=2, D(Y)=5. Найти математическое ожидание  и дисперсию случайной величины Z=5X-2Y+9.

Решение: М(Z)=5М(Х)-2М(Y)+9=40-6+9=43.

D(Z)=5² D(Х)-2² D(Y)+0=50-20=30.

4. В группе из 21 студента 5 девушек. Из этой группы случайным образом выбирается 3 студента. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа девушек среди отобранных студентов. Найти М(Х).

Решение: 0,4211;

; 0,1203; 0,0075.

Х i	0	1	2	3
pi	0,4211	0,4511	0,1203	0,0075

Математическое ожидание можно найти двумя способами: М(Х )= = 0,7142 или

= 0,7142.

5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,1. найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов до первого попадания.

Решение: Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. По формулам (8) и (9) находим М(Х)= ,D(X)= . 

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелов составит от 5 до 10.   

Решение: вероятность попадания очень мала, а число выстрелов достаточно велико. Поэтому искомую вероятность будем искать, используя формулу Пуассона. Нам требуется найти Р{5 }. По теореме сложения вероятностей Р{5 }=P{X=5}+ P{X=6}+ P{X=7}+ P{X=8}+ +P{X=9}+ P{X=10}.

Имеем . .

Р{5 }=0,135 0,053.

7. Монета бросается 5 раз. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Построить для Х а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Решение: Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n=5, p=0,5, q=0,5.

pi/m	0	1	2	3	4	5
0,5	0,03125	0,15625	0,3125	0,3125	0,15625	0,03125

М(Х)=np=5 ; D(X)=npq=1,25.

  8. Из вазы, содержащей 4 белых и 6 красных роз случайным образом извлекается 3 цветка. Случайная величина Х- число белых роз в выборке. Описать закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение:

х	0	1	2	3
р	1/6	1/2	3/10	1/30

М(Х)=6/5; D(X)=14/25.

9. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х – опробования ключей при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях а) участвует; б) не участвует.

x	1	2	3	4	5
p	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

 Б)

x	1	2	…	n	…
p	0,2	0,8 0,2	…	0,8n-1 0,2	…

10. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Случайная величина Х – число выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.

 

Р(1 )