Математические операции над случайными величинами.

Практическое занятие. Дискретные случайные величины и операции над ними.

Теория.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы перечислены все значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятности.

Х	х1	х2	х3	…..	xn
Р	p1	p2	p3	…..	pn

Причем  следует учитывать, что

  (1).

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины, k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности р_1, р₂, …, р_n. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

Построенная таким образом фигура называется многоугольником или полигоном  распределения  вероятностей.

Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения, представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем заданное х.

F(х)=Р{X<x} (2).

Свойства функции распределения.

1. . (3)               

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. , .

4.                                       Р(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁). (4)

ФункциюF(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.

Математические операции над случайными величинами.

1. Произведением kX  случайной величины Х на постоянную величину k  называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).
2.   Cтепенью m  случайной величины Х называется случайная величина Х^m, которая принимает значения x_i^m с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).

Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения x_i^m могут получаться одними и теми же способами при различных x_i, то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей.

1. Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида х_i+y_j (х_i-y_j или х_iy_j), где i=1, 2,…, n, j=1, …, m с вероятностями p_ij=Р . Если случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей

p_ij=Р (5)

Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения х_i+y_j (х_i-y_j или х_iy_j), могут получаться одними и теми же способами при различных x_i,y_j то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей p_i или p_ij