Количество решений системы

Линейных уравнений.

Теорема:

Всякая система линейных уравнений или не имеет решений, или имеет единственное решение, или имеет бесконечное число решений.

Доказательство:

К любой системе линейных уравнений применим метод Гаусса, т.е. расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Если ступенька матрицы содержит строку (0 0 … 0 не ноль), т.е. имеющую только один последний ненулевой элемент, то система будет иметь следствием уравнение 0х1 + … + 0хn = не ноль, которое не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений.

Если ступенчатая матрица содержит длинную ступеньку (длину > 1) и не выполнен предыдущий рассмотренный случай  

1

      1

0                   1

0 0 0 0 0

то, очевидно, система будет иметь бесконечное число решений, т.к. не начальным позициям длинной ступени будут соответствовать свободные переменные (одна или несколько), которым можно придать любые значения. И, наконец, если в ступенчатой матрице все ступени, кроме последней, длины 1, а последняя длины 2,

1

1

      1

           1

      

Система будет очевидно иметь единственное решение.

Теорема:

Если в системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система не может иметь единственного решения, и возможна только одна из 2-х ситуаций: нет решений или бесконечное число решений.

Доказательство:

В ступенчатой форме расширенной матрицы в случае единственного решения все ступени до черты имеют длину 1, а значит число строк расширенной матрицы (т.е. число уравнений) не меньше числа столбцов до черты (т.е. числа неизвестных).

Замечание:

Если уравнений больше чем неизвестных, то возможны все три указанные выше ситуации. Приведем простые примеры:

x + y = 2                         х + y = 2

x + y = 3 -  нет решений,   x – y = 1 - одно решение,

x + y = 1                         2x + 2y = 4

                                   x + y = 2

                                  2x + 2y = 4 -  бесконечное число решений.

                                 3x + 3y = 6   

 

 

Выясним, когда система n  уравнений с n неизвестными будет иметь единственное решение.

Теорема:

Система n линейных уравнений с n  неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы не равен нулю.

Доказательство:

Рассмотрим систему

а11 х1 + … + а1n xn = b1

         …

an1 x1 +… + ann xn = bn

Если = 0, то для решения системы можно применить метод Крамера (или обратной матрицы) и, значит, система имеет единственное решение.

                                                а11 … аn1 b1

Её расширенная матрица: А =       …    …

                                                         an1... ann bn                                                                                                                            

 

 

Если система имеет единственное решение, то её расширенная матрица может элементарными преобразованиями быть приведена к такому ступенчатому виду:

         1 0 0 … 0 b1

         0 1 0 … 0  b2 

А =                 …

         0 0 … 1 bn

                       

                                                                                                                

Часть А   до черты будет единичной матрицей. Её определитель = 1.

Заметим, что получен из   элементарными преобразованиями строк.

Нетрудно проверить, что элементарные преобразования не меняют свойства определителей быть равными или не равными нулю.

Определитель = 1 = 0, а, следовательно,      = 0.

 

Система однородных

линейных уравнений.

 

Определение.   Если в линейной системе все свободные члены равны нулю, то уравнения в системе называются однородными:

     а11 х1 + … + а1n xn = 0

                  …

     ak1 x1 +... + akn xn = 0.

 

Система линейных однородных уравнений всегда имеет т ривиально е решение:  х1 = 0

              х2 = 0

              …

              хn = 0

Утверждение. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система имеет нетривиальное решение.

Доказательство: Действительно, в этом случае система имеет бесконечное число решений, а, значит, все они кроме одного будут нетривиальными.

Утверждение. Система n  линейных однородных уравнений с n  неизвестными будет иметь нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы будет не равен нулю.

Доказательство: Действительно, в этом случае система имеет бесконечное число решений, а, значит, все они кроме одного будут нетривиальными.

 

Линейная зависимость

И независимость.

Рассмотрим n  столбцов чисел длины k

 

    а11                       a12                                 a1n

А1 = …; A2 = …; … An =  …  .

    аk1                      ak2                                akn

 

Линейной комбинацией этих столбцов называется выражение вида:

х1 А1 + х2 А2 + … + хn An, где

х1, … хn – некоторые числа

                                                                                                

Линейная комбинация называется тривиальной, если     

х1 = 0

х2 = 0

…

хn = 0

 

Столбцы А1, … Аn называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих столбцов равная нулевому столбцу

    0

О = …   , т.е. х1 А1 + х2 А2 + … + хn An = 0, но не все числа х1, х2, …, хn  равны

    0

нулю.

Очевидно, что столбцы А1, … Аn будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда система однородных линейных уравнений

a11 х1 + … + а1n xn = 0

            …

ak1 x1 +... + akn xn = 0

будет иметь нетривиальное решение.

 

Утверждение. Набор из n  столбцов длины k будет линейно зависимым, если n > k.

Доказательство следует из предыдущего утверждения.

Таким образом, в линейно независимой системе из столбцов длины k может быть не больше k столбцов.

Пример:

                 1           0                0

Набор А1 = 0; А2 = 1; …. Аk = 0    линейно независим и содержит k

                 0           0                1

столбцов.                                                                         

Действительно, равенствох1 А1 + … + хk Ak = 0

                                       х1 = 0                                        x1

имеет место только при … , т.к. х1 А1 + … + хk Ak =   ….

                                       хk = 0                               xk

Определение.

                   b1

Столбец В =   … линейно выражается через столбцы А1, …, Аn, если В равен

                   bk

некоторой линейной комбинации этих столбцов А1 … Аn:

В = х1 А1 + … + хn An.

 

Замечание. Таким образом, система линейных уравнений

а11 х1 + … + а1n xn = b1

          …

  ak1 x1 + … + akn xn = bk

 

совместна (т.е. имеет решение) тогда и только тогда, когда столбец свободных членов линейно выражается через столбцы матрицы системы.

Утверждение.

Набор столбцов будет линейно зависимым тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов будет линейно выражаться через остальные.

Доказательство:

Если столбцы линейно зависимы, рассмотрим их нетривиальную линейную комбинацию х1 А1 + … + хn An = 0

Пусть, например, х1 = 0, тогда

А1 = - х2/x1*A2 - x3/x1*A3 -... – xn/x1*An, т.е. А1 линейно выражается через остальные.

 

Замечание. Аналогично тому, как это сделано для столбцов, определяется линейная зависимость и независимость строк чисел.

 

Теорема. Рассмотрим определитель

   а11 … а1n

=        …

   an1... ann

 

= 0 ó столбцы (и строки) определителя линейно зависимы

 

Доказательство:

Если    = 0, система однородных уравнений

а11 х1 + … + а1n xn = 0

             …

 an1 x1 +… + ann xn = 0

 

имеет нетривиальное решение. А значит, столбцы определителя линейнозависимы.

  Если столбцы линейно зависимы, то один (хотя бы) из столбцов линейно выражается через остальные. Вычтем из этого столбца эту линейную комбинацию остальных (т.е. его самого). Ввиду свойств определителя, определитель от этого не изменится. Однако, теперь появился столбец из нулей. Следовательно     = 0.

Поскольку при транспонировании определитель не меняется, а строки становятся столбцами все сказанное для столбцов остается верным для строк определителя   .

 

Ранг множества