Неизвестных (метод Гаусса) решения

систем линейных уравнений.

 

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие три типа преобразований:

1) Перемена местами любых 2-х уравнений системы.

2) Умножение (или деление) любого уравнения системы на ненулевое число.

3) Замена одного из уравнений системы на его сумму с другим уравнением.

Легко доказывается, что элементарные преобразования приводят к системе равносильной исходной (т.е. имеющих то же множество решений).

Сначала рассмотрим метод Гаусса на примере:

 

Пример: Решим систему

          х – 2y + z = 0      (- 2)   (- 3)

          2x +y – 2z = - 2        +

          3x + y + z = 8                              +

 

Прибавим ко 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на (- 2), а к 3-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на (- 3). Получим систему равносильную исходной:

x – 2y + z = 0

   5y – 4z = -2 (- 7)

   7y – 2z = 8    5 +

 

Тем самым неизвестное х исключается из 2-го и 3-го уравнения.

Исключим теперь переменную y из 3-го уравнения, используя 2-е уравнение. Для этого заменим 3-е уравнение на сумму 2-го уравнения, умноженного на (- 7) и 3-го уравнения, умноженного на 5. Получим систему:

х - 2y + z = 0

   5y – 4z = -2

          18z = 74

 

Теперь мы можем найти z из последнего уравнения, затем найти y из 2-го уравнения (т.к. мы уже знаем z), и,  наконец, найти х из 1-го уравнения (мы уже знаем y и z). Итак

х = 2y – z = 4 – 3 = 1

y = 1/5 (4z – 2) = 1/5 (12 – 2) = 2

z = 3

 

Вычисления осуществляются снизу вверх, что мы отметили стрелочкой.

Можно было бы производить элементарные преобразования  системы и дальше, только теперь уже снизу вверх: исключая z из 1 и 2-го уравнения, затем исключая y из 1-го уравнения:

 

х – 2y + z = 0                x – 2y + z = 0                                      x – 2y = -3 5

5y – 4z = -2     ó    5y – 4z = -2     +               ó    5y = 10 2 +

        18z = 74: 18                  z = 3 4      (- 1)    +             z = 3

  5x = 5: 5   x = 1

ó 5y = 10: 5 ó y = 2

  z = 3             z = 3

 

В рассмотренном примере коэффициенты при неизвестных были целыми. Поэтому мы «берегли целые числа», т.е. не создавали дробей (так будем действовать и далее при «ручном» решении примеров, чтобы снизить вероятность арифметических ошибок). Если придерживаться строго алгоритма метода Гаусса преобразования будут следующими:

х – 2y + z = 0  (- 2) (- 3)         x – 2y + z = 0                  

2x + y – 2z = -2 +             ó    5y – 4z = -2: 5 ó          

3x + y + z = 8                     +             7y – 2z = 8

 

x – 2y + z = 0                             x – 2y + z = 0                        x – 2y + z = 0

     y – 4/5z = -2/5 (- 7) ó      y – 4/5z = -2/5          ó y – 4/5z = -2/5

    7y – 2z = 8            +                    18/5z = 54/5: 18/5 z = 3

Т. е. добиваются, чтобы коэффициенты при ведущих неизвестных в ведущих уравнениях равнялись единице.

 

Разберем еще один пример.

Пример: 2х + y – z = 0            x + 2y + z = 3 (- 2)      (- 1)

            x + 2y + z = 3    ó 2x + y – z = 0    +            ó

            x – y – 2z = -3           x – y – 2z = -3                +

x + 2y + z = 3                  x + 2y + z = 3                 x + 2y + z = 3

- 3y – 3z = -6: (- 3) ó        y + z = 2 (- 1) ó       y + z = 2

- 3y – 3z = -6: (- 3)         y + z = 2   +               0 = 0

Последнее уравнение системы не вносит никаких ограничений для значений неизвестных, поэтому может быть исключено из системы:

   x + 2y + z = 3

ó      y + z = 2

Неизвестной z можно придавать любые значения. Такие неизвестные называются «свободными». Остальные переменные х и y  выражаются через z.

x = 3 – 2y – z = 3 – 2(2 – z) – z = - 1

y = 2 – z

z = z - любое

 

Рассматриваемая система имеет бесконечное множество решений:

x = -1 – 4с

y = 2 – c

z = c, где с – любое число

 

Последнюю систему невозможно было бы решить методом Крамера или с помощью обратной матрицы. Матрица этой системы, как легко проверить, вырождена.

 

Определение.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов.

 

Система однозначно восстанавливается по своей расширенной матрице. При этом каждая строка расширенной матрицы кодирует одно из уравнений системы. Элементарным преобразованиям системы соответствуют элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы.

 Под элементарными преобразованиями строк матрицы понимаются следующие преобразования:

1) Перемена местами любых 2-х строк.

2) Умножение (или деление) всех элементов любой строки на ненулевое число.

3) Замена любой строки на её сумму с другой строкой. 

 

Рассмотрим решение уже решённой нами системы, теперь будем использовать расширенную матрицу:

х – 2y + z = 0

2x + y – 2z = -2

3x + y + z = 8

 

Будем производить элементарные преобразования строк расширенной матрицы:

 

 

    1 -2 1 0 (- 2) (- 3)      1 -2 1 0                  1 -2 1 0

А = 2 1 -2 -2   +          ó 0 5 -4 -2 (- 7) ó 0 5 -4 -2

    3 1 1 8              +        0 7 -2 8 5 +      0 0 18 74

 

На этом этапе можно по преобразованной расширенной матрице восстановить соответствующую ей систему, и даже обратным ходом найти z, y, x.  Такой способ решения мы и будем называть методом Гаусса.

 

Можно продолжить элементарные преобразования следующим методом:

      1 -2 1 0             1 -2 1 0     +                1 -2 0 - 3 5 +

… ó 0 5 -4 -2     ó  0 5 -4 - 2 +                 ó 0 5 0 10 2 ó

      0 0 18 74: 18 0 0 1 3 4   (- 1)        0 0 1 3

5 0 0 5: 5     1 0 0 1

0 5 0 10: 5 ó 0 1 0 2

0 0 1 3            0 0 1 3

Полученная матрица даёт уже ответ:

х = 1

y = 2

z = 3

Такую технологию мы будем именовать завершенным методом Гаусса.

 

Рассмотрим ещё один пример:

 

Решить систему:

х – 2y + 3z – u = 2

2x + y – z + u = 0

x + 3y – 4z + 2u = 1

x + y + z = 1 

 

Решим её методом Гаусса

1 -2 3 -1 (- 2) (- 1)            1 -2 3 -1 2

    2 1 -1 1  +                         0 5 -7 3 -4 (- 1)    (- 3)

 А = 1 3 -4 2              +      ó  0 5 -7 3 -1 +             ó

    1 1 1 0                  +         0 3 -2 1 -1 5          +

 

1 -2 3 -1 2        1 -2 3 -1 2

0 5 -7 3 -4       0 5 -7 3 -4

0 0 0 0 3 ó 0 0 11 -4 7

0 0 11 -4 7        0 0 0 0 3

 

Восстановим по последней матрице систему

x – 2y + 3z – u = 2

   5y – 7z + 3u = -4

           11z – 4u = 7

                     0 = 3

Последнее уравнение системы представляет из себя невозможное равенство, т.е. является уравнением, не имеющим никаких решений. Таким образом, уравнения исходной системы противоречат друг другу.

Ответ: Система не имеет решений.

 

Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид, если каждая следующая её строка начинается с большего количества нулей, чем предыдущая. Итак, метод Гаусса состоит в том, чтобы элементарными преобразованиями строк привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. В завершенном методе Гаусса добиваются того, чтобы не только под, но и над первыми ненулевыми элементами строк стояли нули. Сами эти первые элементы делают равными единицам.

Пример:   Решим систему завершенным методом Гаусса:

x + y + z + u = 2

2x + y + 2z + 2u = 3

x + z + u = 1

3x + 2y + 3z + 3u = 5

     1 1 1 1 2 (- 2) (- 1) (- 3)            1 1 1 1 2

     2 1 2 2 3  +                                       0 -1 0 0 -1 (- 1)

A = 1 0  1 1 1               +                ó 0 -1 0 0 -1   +     ó

     3 2 3 3 5                              +           0 -1 0 0 -1        +

1  1 1 1 2 +

0 -1 0 0 -1       1 0 1 1 1              1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 ó 0 -1 0 0 -1 (- 1) ó 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0

 x + z + u = 1

 y = 1 

z и u  будут свободными переменными

 

            х = 1 – с1 – с2

             y = 1

Ответ:       z = c1

             u = c2,    c1,  c2 - любые действительные числа.

 

Замечание:

Переменные z и u в рассмотренном примере соответствовали «неначалу» длинной ступени и поэтому были свободными. Остальные переменные (х и y) выражаются через свободные. Однако выбор свободных переменных неоднозначен. В рассмотренном примере можно было бы взять в качестве свободных х и z или х и u. Ответ бы имел вид:

x = c1                                              х = с1

y = 1                         y = 1

z = c2                         или     z = 1 – c1 – c2

u = 1 – c1 – c2            u = c2

 

В результате применения завершенного метода Гаусса расширенная матрица системы принимает такой вид, что из столбцов, соответствующих коэффициентам при несвободных переменных, можно, поставив их рядом друг с другом, составить единичную матрицу.