Решения задач районных олимпиад 2014

8.1. В треугольнике  высоты, опущенные на стороны  и , не меньше соответствующих сторон. Найдите углы этого треугольника.

♦ Пусть ;  Наклонная больше перпендикуляра, поэтому  По условию  Поэтому  Аналогично,

Получили  треугольник прямоугольный и равнобедренный. Ответ:

 

8.2. Найдите все пары целых чисел, для которых

♦ Так как  то возникают системы 

 

 

Решим их. Ответ: (–5; –4), (–3; 0), (–5; 4), (5; 4), (5;–4), (3; 0).

8.3. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он сделал более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

♦ Ответ: 12 выстрелов при попаданиях 9 раз в 8, два раза в 9 и один раз в 10.

Пусть спортсмен выбил  раз восьмёрку,  раз девятку и  раз десятку.

 Тогда .

8.4. Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей. Он разменял 25-рублёвую купюру покупателя у соседа. Покупатель с покупкой ушёл. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец?

♦ Ответ: 15 + 25 = 40.

8.5. Лента, бесконечная вправо, разбита на клетки. На первой клетке сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на 2 клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до десятой от начала клетки?

♦ Добраться до первой клетки можно одним способом – сидеть на месте. Существует только один способ добраться до второй клетки. До третьей клетки – 2 способа. До четвёртой – 3. До пятой – 5. В каждую следующую клетку кузнечик может попасть из попасть из предыдущей или либо перепрыгнув через неё поэтому число способов попасть в неё складывается из двух предыдущих чисел. Возникает последовательность 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; … Ответ: 55.

9.1. Докажите, что уравнение  не разрешимо в натуральных числах.

♦ Предположим, что нашлась тройка натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению. Тогда все три равны друг другу не могут и без ограничения общности можно считать, что . Тогда  или  и сумма . Противоречие.

9.2. Функция называется нечётной, если  для любого . Докажите, что  функция нечётная.

♦

9.3. При каких значениях  система  не имеет решений? 

♦ Ответ:  При  система несовместна  Решим исходную систему при Вычтем из первого уравнения второе

Решение  системы существует при .

9.4. Сколькими способами можно разложить 5 монет различного достоинства по трём карманам?

♦ Ответ: . Каждую монету можно положить в любой карман тремя способами: в первый карман, во второй карман или в третий карман. Одну монету можно разложить тремя способами, две – девятью; три – четыре –  ; пять –  способами.  

9.5.  Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите угол

♦ Пусть  точка касания окружности гипотенузой и  радиус окружности. Тогда  прямоугольный равнобедренный,  и , аналогично, . Ответ.

 

10.1. Решите в натуральных числах уравнение

♦   Ответ:

10.2. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

♦ Анализ. Даны три параллельные прямые  и  (перечисляем снизу вверх). Предположим, что  вершина  искомого квадрата лежит на ,  на ,  на . Вокруг вершины  повернём точку  на  по часовой стрелке. Тогда точка  перейдёт в точку .

Построение. Выберем произвольно точку  на прямой . Повернём прямую  по часовой стрелке на  вокруг точки . Полученная прямая пересечется с прямой  в точке . Повернув точку  в обратном направлении, на прямой  получим точку . Равнобедренный прямоугольный треугольник  достроим до квадрата . Квадрат  искомый.  

10.3. Окружность с центром О радиуса вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

 ♦  радиус окружности, вписанной в треугольник  точка касания окружности гипотенузой. Треугольник  прямоугольный равнобедренный, , ; аналогично,  Оказалось, что О – центр окружности, описанной около треугольника MCN. Ответ.

 

10.4. Сто учеников сидят за круглым столом, причём более половины из них мальчики. Докажите, что какие-то два мальчика сидят друг напротив друга.

♦ Предположим противное, тогда в каждой из пятидесяти пар есть девочка. Мальчиков должно быть  Противоречие с условием.

 

10.5. При каких значениях параметра  система уравнений

 имеет единственное решение?

♦ Ответ: Если  решение системы, то  тоже решение системы. Поэтому, если решение единственное, то  т. е. получаем систему 

которая распадается на две системы

и

При  исходная система, кроме , имеет ещё решения: . Докажем, что при  кроме (0; 1), нет других решений системы

Из условия  следует, что  Первое из этих неравенств даёт  Вместе с тем с тем, что  это даёт нам  Получили то же самое решение, т. е. оно единственное.

 

11.1 Докажите, что если число  делится на , то  простое

число.

♦ Предположим противное, что  представимо в виде произведения двух натуральных чисел,  Тогда , и присутствует среди множителей  т. е. при некотором натуральном  имеем

Единица делится на натуральное число, отличное от 1. Противоречие.

 

11.2. Числа  и  образуют решение системы

.

 Докажите, что хотя бы одно из них равно .

♦ Из второго уравнения системы следует, что  Поэтому

Так как  то  или  или  

 

11.3. Сторона основания правильной треугольной призмы  равна 2, а диагональ боковой грани . Найдите угол между плоскостью  и плоскостью основания.

♦ Если  середина  то  и  перпендикулярны  следовательно,  линейный угол другранного угла с гранями  и . Так как  из треугольника  и  из треугольника , то . Ответ:

11.4. Окружность вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите угол

♦ Введём обозначения:  центр окружности,  радиус,  точка окружности, которая проектируется на ,  точка пересечения прямой  со стороной  точка касания окружности прямой  Тогда  Как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки,  А так как . Треугольник  равнобедренный с внешним углом  при вершине Р. Поэтому  . Аналогично,  , поэтому   Ответ.

Решение 2. Так как , то  центр окружности, описанной около треугольника  В ней центральный угол , поэтому вписанный угол

 

11.5 При каких натуральных  и  имеет корни уравнение

?

♦ Ответ: уравнение имеет корни, если  любое натуральное число, или, если , или, если

К уравнению  применим метод дополнительного угла; введём угол, для которого

Тогда уравнение принимает вид

Уравнение имеет корни, если

Если , то это неравенство выполняется для любого натурального . Если  то перепишем неравенство в виде  или . Если , то  и возможно только одно значение . При  возможны  или  При  возможно только .