8.1. Докажите, что при натуральном 
число 
не может быть равно нулю.
♦ Решение 1. Если бы такое нашлось, то оно должно быть делителем числа 31 = 
, т. е. 
или 
. Но они числа 31 не дают.
Решение 2. Если чётно, то сумма чётного числа , и нечётного числа 31 даёт число нечётное, которое не может равняться чётному числу 0. Если нечётно, то сумма трёх нечётных чисел нечётна и поэтому не может равняться чётному числу 0.
8.2. При каких значениях 
уравнение 
имеет два различных корня?
♦ Если 
то корень 
. Если 
то корни совпадают 
. В остальных случаях два неравных корня 
8.3. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из громов переливает 
своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа. И, наконец, четвёртый гном оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если в конце концов у всех гномов молока оказалось поровну?
♦ 
8.4. На окружности заданы точки 
Отрезок 
диаметр окружности. Из точек 
и 
на прямую 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно. Докажите, что 
♦ Пусть М – основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности О на хорду 
Тогда 
8.5. Крестьянин купил стадо, состоящее из свиней, коз и овец – всего 100 голов. Он заплатил за стадо 100 крон. За каждую свинью по 3,5 кроны. За каждую козу по 
кроны. За каждую овцу по 0,5 кроны. Сколько свиней, коз и овец купил крестьянин?
♦ Ответ: Три варианта покупки свиней, коз и овец (5; 42; 53), (10; 24; 66) и (15; 6; 79). Если крестьянин купил 
свиней, 
коз и 
овец, то задача свелась к решению системы
Из второго вычтем первое, умноженное на 3:
9.1. Для некоторых целых и число 
делится на 23. Докажите, что число 
также делится на 23.
♦ Решение 1. По условию 
. Дополнив 17 до 23, получим
делится на 23.
Решение 2. Если обратим внимание на 3 х = 
, то получим
.
Из того, что 
делится на 23, следует, что также делится на 23.
9.2. Функция называется нечётной, если 
для любого . Докажите, что 
функция нечётная.
♦ Решение 1.
Решение 2.
9.3. В конференции принимает участие 77 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с семью другими?
♦ Предположим, что может. Тогда в числе 
каждый участник учтён дважды. Оно должно быть чётным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно.
9.4. Решите систему
♦ Ответ: (3; 1), (1; 3), (–3;–1), (–1;–3).
Решение 1. Заметим, что если пара 
образует решение системы, то 
и 
, 
и 
– тоже решения. Поэтому можно искать решения, для которых 
и из них получать остальные.
Решение 2. Возведя в квадрат обе части уравнения
получим
9.5. Окружность с центром О радиуса 
вписана в прямоугольный треугольник 
, 
– еёпроекция на гипотенузу 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 
♦ Пусть 
точка касания окружности гипотенузой. Тогда 
Ответ. 
10.1. Докажите, что при 
числа 
и 
не могут быть простыми одновременно.
♦ Решение 1. Среди трёх последовательных целых чисел 
одно делится на 3, но это не 
, поэтому или . Значит, одно из них делится на 3, а так как оно не равно трём, то составное.
Решение 2. 
Произведение делится на 3, поэтому одно из них составное – делится на 3.
Решение 3. Если составное, 
то 
число составное: 
. Если простое, 
то 
нечётное и 
составное: 
, делится на 3. Поэтому при числа и не могут быть простыми одновременно.
Решение 4. Предположим противное: нашлось 
. Из того, что простое, следует, что 
тоже простое. Из того, что простое, следует, что 
. Простое число представимо в виде степени двойки 
только если эта степень первая, 
. Противоречие с тем, что .
Полезные формулы
Если нечётное, то
Решение 5. При эти числа не равны 2 и 3. Простое число, отличное от 2 и 3 можно представить в виде 
Если 
то 
делится на 3. Если 
то 
на 3. Противоречие...
Решение 6. Методом полной математической индукции можно доказать, что при одно из чисел или делится на 3. Если 
, то 
делится на 3. Если 
, то 
делится на 3.
10.2. Решите уравнение 
♦ Ответ: 
Решение 1. После возведения в квадрат получим
Заметив, что 
удовлетворяет этому уравнению, получим
Осталось решить биквадратное уравнение. Проверка обязательна.
Решение 2. Замена 
приводит уравнение к виду 
10.3. Дана система уравнений
Два человека выписывают по очереди вместо звёздочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
♦ Начинающий всегда может добиться того, чтобы получить решение (1; 1; 1)
Для этого, он своими ходами каждое уравнение приводит к одному из видов
или 
или 
.
Очень эффектна стратегия, когда он получает решение (0;1;–1).
Для этого он систему приводит к виду
Первым ходом ставит 0 в левом верхнем углу, а затем во втором и третьем столбцах ставит то же число, что и его партнёр!
Он может получить решение (0; 1; 1), если систему приведёт к виду
10.4. Каждая сторона треугольника разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки 
не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ?
♦ Ответ: 216. Всего треугольников с вершинами в этих точках 
Треугольников, у которых одна сторона параллельна одной из трёх сторон исходного треугольника 
Треугольников, у которых две стороны параллельны двум сторонам исходного 7. У одного треугольника все три стороны параллельны сторонам исходного. Отсюда, ответ
10.5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень
♦ Запишем равнение в виде 
Функция
непрерывна. После раскрытия модулей
При 
она возрастает, так как при любом раскрытии модулей
имеем 
При 
функция убывает, так как при любом раскрытии модулей
имеем 
.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает при х = 1, а уравнение 
имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда 
Решим это неравенство
Ответ: 
11.1. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел и 
, что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного 
.
♦ По условию 
где 
количество цифр в числе . Тогда 
Так как числа и взаимно простые, то 
и 
тоже взаимно простые. Поэтому 
, 
А это возможно в двух случаях. В первом случае 
тогда 
. Противоречие. Во втором случае 
Тогда равенство примет вид 
. В этом уравнении слева функция возрастающая, а справа убывающая. Такое уравнение имеет не более одного корня. Единственный корень . Ответ: 
11.2. Числа 
и образуют решение системы
.
Докажите, что хотя бы одно из них равно 
.
♦ Требуется доказать, что 
или 
или 
. Следовательно, надо доказать, что 
или 
или 
Иначе говоря, надо доказать, что 
А это действительно так:
Здесь мы воспользовались тем, что из второго уравнения системы 
а из первого 
Так как 
то или или 
11.3. В треугольнике угол равен 
На стороне 
взята точка 
, для которой 
и 
Найдите радиус окружности, проходящей через точки 
и касающейся прямой 
♦ Ответ: 1 или 7. Два ответа возникают в связи с тем, что точка касания может находиться на прямой 
по одну сторону с точкой 
относительно или по разные.
Пусть точка 
касания окружности с прямой лежит на луче . По теореме о касательной и секущей
.
Пусть 
точка пересечения луча 
и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника 
находим
Следовательно, центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка 
касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку , а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке 
а окружность вторично – в точке 
Тогда
Если 
радиус окружности, то 
По теореме о двух секущих 
11.4. В последовательности 
каждое следующее число получается из предыдущего по формуле 
Найдите 
♦ Ответ: 
Значения повторяются через четыре номера
; 
11.5. При каких натуральных и 
имеет корни уравнение
?
♦ Ответ: уравнение имеет корни, если 
любое натуральное число, или, если 
, или, если 
Решение 1. Пусть 
Уравнение 
имеет корни при любом натуральном 
При 
имеем уравнение 
, которое при не имеет корней. Уравнения 
и 
корни имеют. При 
имеем уравнение 
, которое, очевидно, при 
не имеет корней. При 
имеем уравнение, которое также при не имеет корней.
Решение 2. К уравнению
;
применим метод введения дополнительного угла; введём угол, для которого
Тогда уравнение принимает вид
Уравнение имеет корни, если
Если 
, то это неравенство выполняется при любом натуральном . Если 
то перепишем неравенство в виде 
или 
. При возможны или 
При возможно только . Если 
, то 
и возможно только одно значение .
