Решения задач городской олимпиады 2014

8.1. Докажите, что при натуральном  число  не может быть равно нулю.

♦ Решение 1. Если бы такое  нашлось, то оно должно быть делителем числа 31 = , т. е.  или . Но они числа 31 не дают.

Решение 2. Если  чётно, то сумма чётного числа , и нечётного числа 31 даёт число нечётное, которое не может равняться чётному числу 0. Если  нечётно, то сумма трёх нечётных чисел  нечётна и поэтому не может равняться чётному числу 0.

8.2. При каких значениях  уравнение  имеет два различных корня?

♦ Если  то корень . Если  то корни совпадают . В остальных случаях два неравных корня

8.3. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из громов переливает  своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа. И, наконец, четвёртый гном  оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если в конце концов у всех гномов молока оказалось поровну?               

♦

8.4. На окружности заданы точки   Отрезок  диаметр окружности. Из точек  и  на прямую  опущены перпендикуляры  и  соответственно. Докажите, что

♦ Пусть М – основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности О на хорду  Тогда  

 

8.5. Крестьянин купил стадо, состоящее из свиней, коз и овец – всего 100 голов. Он заплатил за стадо 100 крон. За каждую свинью по 3,5 кроны. За каждую козу по  кроны. За каждую овцу по 0,5 кроны. Сколько свиней, коз и овец купил крестьянин?

♦ Ответ: Три варианта покупки свиней, коз и овец (5; 42; 53), (10; 24; 66) и (15; 6; 79). Если крестьянин купил  свиней,  коз и  овец, то задача свелась к решению системы

 

Из второго вычтем первое, умноженное на 3:

 

9.1. Для некоторых целых  и  число  делится на 23. Докажите, что число  также делится на 23.

♦ Решение 1. По условию  . Дополнив 17 до 23, получим

делится на 23.

Решение 2. Если обратим внимание на 3 х = , то получим

.

Из того, что  делится на 23, следует, что  также делится на 23.

9.2. Функция называется нечётной, если  для любого . Докажите, что  функция нечётная.

♦ Решение 1.

 

Решение 2.

 

9.3. В конференции принимает участие 77 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с семью другими?

♦ Предположим, что может. Тогда в числе каждый участник учтён дважды. Оно должно быть чётным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно.

 

9.4. Решите систему

♦ Ответ: (3; 1), (1; 3), (–3;–1), (–1;–3).

Решение 1. Заметим, что если пара  образует решение системы, то  и ,  и  – тоже решения. Поэтому можно искать решения, для которых  и из них получать остальные.

Решение 2. Возведя в квадрат обе части уравнения

получим

9.5. Окружность с центром О радиуса  вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

♦ Пусть  точка касания окружности гипотенузой. Тогда   Ответ.

 

10.1. Докажите, что при  числа  и  не могут быть простыми одновременно.

♦ Решение 1. Среди трёх последовательных целых чисел  одно делится на 3, но это не , поэтому  или . Значит, одно из них делится на 3, а так как оно не равно трём, то составное.

  Решение 2.  Произведение делится на 3, поэтому одно из них составное – делится на 3.

  Решение 3. Если  составное,  то  число составное: . Если  простое,  то  нечётное и  составное: , делится на 3. Поэтому при  числа  и  не могут быть простыми одновременно.  

Решение 4. Предположим противное: нашлось . Из того, что  простое, следует, что  тоже простое. Из того, что  простое, следует, что . Простое число представимо в виде степени двойки  только если эта степень первая, . Противоречие с тем, что .

     

 Полезные формулы

Если  нечётное, то

  Решение 5. При  эти числа не равны 2 и 3. Простое число, отличное от 2 и 3 можно представить в виде  Если  то  делится на 3. Если  то  на 3. Противоречие...

  Решение 6. Методом полной математической индукции можно доказать, что при  одно из чисел  или  делится на 3.  Если , то  делится на 3. Если , то  делится на 3.

 

10.2. Решите уравнение

♦ Ответ:    

Решение 1. После возведения в квадрат получим

Заметив, что   удовлетворяет этому уравнению, получим

Осталось решить биквадратное уравнение. Проверка обязательна.

Решение 2. Замена  приводит уравнение к виду

 

10.3. Дана система уравнений

Два человека выписывают по очереди вместо звёздочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

♦ Начинающий всегда может добиться того, чтобы получить решение (1; 1; 1)

Для этого, он своими ходами каждое уравнение приводит к одному из видов

или

или .

 

  Очень эффектна стратегия, когда он получает решение (0;1;–1).

Для этого он систему приводит к виду

Первым ходом ставит 0 в левом верхнем углу, а затем во втором и третьем столбцах ставит то же число, что и его партнёр!

 

Он может получить решение (0; 1; 1), если систему приведёт к виду

10.4. Каждая сторона треугольника  разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки  не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ?

♦ Ответ: 216. Всего треугольников с вершинами в этих точках  Треугольников, у которых одна сторона параллельна одной из трёх сторон исходного треугольника  Треугольников, у которых две стороны параллельны двум сторонам исходного 7. У одного треугольника все три стороны параллельны сторонам исходного. Отсюда, ответ

 

10.5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень

♦ Запишем равнение в виде  Функция

непрерывна. После раскрытия модулей

При  она возрастает, так как при любом раскрытии модулей

имеем

При  функция убывает, так как при любом раскрытии модулей

имеем .

    Следовательно, наименьшее значение функция принимает при х = 1, а уравнение  имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда Решим это неравенство

Ответ:

 

11.1. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел  и , что если к десятичной записи числа  приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного .

♦ По условию  где  количество цифр в числе . Тогда     Так как числа  и  взаимно простые, то  и  тоже взаимно простые. Поэтому ,  А это возможно в двух случаях. В первом случае  тогда . Противоречие. Во втором случае  Тогда равенство примет вид . В этом уравнении слева функция возрастающая, а справа убывающая. Такое уравнение имеет не более одного корня. Единственный корень . Ответ:

 

11.2. Числа  и  образуют решение системы

.

 Докажите, что хотя бы одно из них равно .

♦ Требуется доказать, что  или  или . Следовательно, надо доказать, что  или  или  Иначе говоря, надо доказать, что  А это действительно так:

Здесь мы воспользовались тем, что из второго уравнения системы  а из первого  

  Так как  то  или  или  

 

11.3. В треугольнике  угол  равен На стороне  взята точка , для которой  и  Найдите радиус окружности, проходящей через точки  и касающейся прямой

♦ Ответ: 1 или 7. Два ответа возникают в связи с тем, что точка касания может находиться на прямой  по одну сторону с точкой  относительно  или по разные.

    Пусть точка  касания окружности с прямой  лежит на луче . По теореме о касательной и секущей

.

Пусть  точка пересечения луча  и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника  находим

Следовательно,  центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

    Пусть теперь точка  касания окружности с прямой  лежит на продолжении  за точку , а прямая, проходящая через точку  перпендикулярно , пересекает прямую  в точке  а окружность вторично – в точке  Тогда  

Если  радиус окружности, то  По теореме о двух секущих

 

11.4. В последовательности  каждое следующее число получается из предыдущего по формуле  

Найдите

♦ Ответ:  Значения повторяются через четыре номера

;

 

11.5. При каких натуральных  и  имеет корни уравнение

?

♦ Ответ: уравнение имеет корни, если  любое натуральное число, или, если , или, если

Решение 1. Пусть  Уравнение  имеет корни при любом натуральном  При  имеем уравнение , которое при  не имеет корней. Уравнения  и  корни имеют. При  имеем уравнение , которое, очевидно, при  не имеет корней. При  имеем уравнение, которое также при  не имеет корней.

Решение 2. К уравнению

;

применим метод введения дополнительного угла; введём угол,  для которого

Тогда уравнение принимает вид

Уравнение имеет корни, если

Если , то это неравенство выполняется при любом натуральном . Если  то перепишем неравенство в виде  или . При  возможны  или  При  возможно только . Если , то  и возможно только одно значение .