Владивосток, 8 ноября 2014 года

Класс

1. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел  и , что если к десятичной записи числа  приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного . Натуральные числа называются взаимно простыми, если у них нет других общих делителей, кроме 1.

2. Числа  и  образуют решение системы

.

Докажите, что хотя бы одно из них равно .

3. В треугольнике  угол  равен На стороне  взята точка , для которой  и  Найдите радиус окружности, проходящей через точки  и касающейся прямой

4. В последовательности  каждое следующее число получается из предыдущего по формуле  Найдите

5. При каких натуральных  и  имеет корни уравнение

?

 

Класс Районная олимпиада 2014

1. В треугольнике  высоты, опущенные на стороны  и , не меньше соответствующих сторон. Найдите углы этого треугольника.

2. Найдите все пары целых чисел, для которых  

3. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он сделал более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

4. Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей. Он разменял 25-рублёвую купюру покупателя у соседа. Покупатель с покупкой ушёл. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец?

5. Лента, бесконечная вправо, разбита на клетки. На первой клетке сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на 2 клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до десятой от начала клетки?

 

Класс Районная олимпиада 2014

1. Докажите, что уравнение  неразрешимо в натуральных  числах.

2. Функция называется нечётной, если  для любого . Докажите, что  функция нечётная.

3. При каких значениях  система  не имеет решений?  

4. Сколькими способами можно разложить 5 монет различного достоинства по трём карманам?

5. Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите угол

Класс Районная олимпиада 2014

1. Решите в натуральных числах уравнение             

2. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

3. Окружность с центром О радиуса вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

4. Сто учеников сидят за круглым столом, причём более половины из них мальчики. Докажите, что какие-то два мальчика сидят друг напротив друга.

5. При каких значениях параметра  система уравнений

 имеет единственное решение?