8.1. На прямой выбраны точки 
и 
на расстоянии 10.Где на прямой находится точка 
, если длина отрезка 
в полтора раза больше длины отрезка 
♦ Пусть точка 
лежит между 
и 
. Тогда, очевидно, 
, 
Если точка 
лежит на прямой 
за точкой 
то 
Пусть точка лежит на прямой за точкой 
и 
Тогда 
В первом случае говорят, что точка 
делит отрезок 
внутренним образом, а во втором – внешним.
Ответ. Точка может лежать между и . Тогда , Точка 
может лежать на прямой за точкой . Тогда
8.2. Обыкновенная дробь 
называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких 
и на что можно сократить дробь 
♦ Предположим дробь сократима на натуральное число 
. Тогда 
Откуда 
делитель числа 6, 
или 6. Если 
то 
Если 
то 
Если 
то 
Ответ. 
может равняться 
Дробь 
сократима на 2.
может равняться 
. Дробь 
сократима на 3 и может равняться 
Дробь 
сократима на 6.
8.3. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два чётных числа?
♦ Нет. Тогда все предыдущие должны быть чётными. А это не так.
8.4. Царь выделял на содержание всего писарского приказа 1000 рублей в год (все писари получали поровну). Царю посоветовали сократить численность писарей на 50 %, а оставшимся писарям повысить жалованье на 50 %. На сколько изменятся при этом затраты царя на писарский приказ?
♦ Если писарей было 
, то каждый писарь получал 
рублей. Если писарей станет 
, а жалование каждого писаря станет 
рублей, то затраты царя станут 
= 750 рублей. Затраты сократятся на 250 рублей. Ответ. Затраты сократятся на 25 %.
8.5. В мешочке лежат 128 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое количество конфет. Но надо соблюдать два правила. Правило вежливости – нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник. Правило честности – самым первым ходом в игре нельзя брать сразу все конфеты. Кто выиграет при правильной игре и заберёт себе все конфеты: начинающий или его партнёр?
♦ Если в пакете 2 леденца, то первый берёт один; второй тоже берёт один и побеждает. Если в пакете 4 леденца, и первый взял один леденец, то дальше по очереди они могут брать только по одному леденцу, и выигрыш у второго. Если первый взял два или три леденца, то второй забирает остальные и побеждает. После разбора случая восьми леденцов, а при необходимости 16 и т. д., становится ясно, что если первый возьмёт половину или больше леденцов, то проиграет; если игрок оставит нечётное число леденцов, то проиграет… Ответ. Выигрывает партнёр начинающего.
9.1. Найдите все целые числа 
, для которых 
делится на 
.
♦ 
Отсюда, 2 делится на . Поэтому равно 
или 
Ответ. 0; 1.
9.2. Обыкновенная дробь называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких и на что можно сократить дробь 
♦ Предположим дробь сократима на натуральное число . Тогда 
Откуда делитель числа 6, или 6. Если то 
Если то 
Если то 
Ответ. может равняться 
Дробь 
сократима на 2.
может равняться 
. Дробь 
сократима на 3.
может равняться 
Дробь 
сократима на 6.
9.3. Пусть 
скорость лыжника на спуске, 
– на подъёме, 
– длина подъёма, тогда 
– длина спуска. 
;
= 
♦ Ответ. В 2,5 раза.
9.4. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?
♦Ширина щели 
см для кошки не проблема.
9.5. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Четырёхугольник является трапецией тогда и только тогда, когда найдутся два противоположных треугольника, у которых площади равны. Докажите.
♦ 
Пусть 
точка пересечения диагоналей трапеции 
. Так как треугольников 
и 
основание 
общее, а высоты равны, то площади треугольников равны.
Доказано, что в трапеции два противоположных треугольника равновелики.
точка пересечения диагоналей четырёхугольника 
Пусть 
Тогда 
так как 
Площади треугольников равны, основание общее, поэтому у них высоты равны. Это означает, что 
. Четырёхугольник 
трапеция.
10.1. Сумма двух целых чисел равна их произведению. Найдите эти числа.
♦ Надо решить в целых числах уравнение 
Перепишем его так: 
Или 
В левой части вынесем общий множитель 
за скобки 
Отсюда, либо 
либо 
Ответ. (0; 0), (2; 2).
10.2. Решите уравнение 
♦ Ясно, что 
Разделив обе части уравнение на 
приведём его к виду 
Так как 
а 
то 
или 
Ответ. Корней нет.
10.3. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других противоположных треугольников. Докажите.
♦ Пусть точка пересечения диагоналей трапеции 
и 
Здесь правые части равны, а поэтому и левые части равны.
10.4. Ведущий и каждый из 30 игроков записывают числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем записи сравнивают. Если у игрока и ведущего на одном и том же месте располагаются одинаковые числа, то игрок получает одно очко. Оказалось, что все игроки набрали различные количества очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.
♦ Допустим первый игрок набрал 0 баллов, второй 1, третий 2, …, двадцать девятый 28. Тогда тридцатый набрал 30 баллов, т. е. его запись совпала с записью ведущего. Другие варианты приводят к этому ещё быстрее.
10.5. Найдите непрерывную функцию 
такую, что 
для всех 
♦ 
Ответ. 
где 
постоянная величина.
11.1. Про целые числа 
и 
известно, что 
Каково наименьшее возможное значение 
♦ Из равенства 
следует, что делится на 5, поэтому 
делится на 
, отсюда делится на . Из этого же равенства следует, что делится на 2, поэтому 
делится на 4, а значит, делится на 2, соответственно, делится на 
, т. е. делится на 
. Отсюда, делится на 
.. Ответ. 200000 = .
11.2. Решите уравнение 
♦ Ясно, что 
Все выражения в скобках суммы 
принимают только неположительные значения, поэтому уравнение равносильно системе 
Отсюда, 
Ответ. (0; 1).
11.3. Пусть 
– точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки . Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат виден под прямым углом.
♦ Ответ. 4 полуокружности.
11.4. Все диагонали параллелепипеда равны. Докажите, что он прямоугольный.
♦Воспользоваться тем, что если диагонали параллелограмма равны, то он – прямоугольник.
11.5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система имеет единственное решение
.
♦ Если 
решение системы при 
, то 
тоже решение. Решение единственное при 
А при 
система приобретает вид 
или 
При 
система 
При 
система 
имеет решение (0; 2). Действительно, при из первого уравнения 
, а из второго 
, противоречие,
т. е. решений, в которых , нет
Ответ. Система имеет единственное решение при
