Решения задач районных олимпиад Приморского края 2013 г.

 

8.1. На прямой выбраны точки  и  на расстоянии 10.Где на прямой находится точка , если длина отрезка  в полтора раза больше длины отрезка

♦ Пусть точка  лежит между  и . Тогда, очевидно, ,  Если точка  лежит на прямой  за точкой  то Пусть точка  лежит на прямой  за точкой и Тогда  В первом случае говорят, что точка  делит отрезок  внутренним образом, а во втором – внешним.

Ответ. Точка  может лежать между  и . Тогда ,  Точка  может лежать на прямой  за точкой . Тогда

8.2. Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

♦ Предположим дробь сократима на натуральное число . Тогда Откуда  делитель числа 6,  или 6. Если  то  Если  то  Если  то

Ответ. может равняться  Дробь  сократима на 2.

 может равняться . Дробь  сократима на 3 и  может равняться Дробь  сократима на 6.

8.3. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два чётных числа?

♦ Нет. Тогда все предыдущие должны быть чётными. А это не так.

 

8.4. Царь выделял на содержание всего писарского приказа 1000 рублей в год (все писари получали поровну). Царю посоветовали сократить численность писарей на 50 %, а оставшимся писарям повысить жалованье на 50 %. На сколько изменятся при этом затраты царя на писарский приказ?

♦ Если писарей было , то каждый писарь получал  рублей. Если писарей станет , а жалование каждого писаря станет  рублей, то затраты царя станут  = 750 рублей. Затраты сократятся на 250 рублей. Ответ. Затраты сократятся на 25 %.

 

8.5. В мешочке лежат 128 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое количество конфет. Но надо соблюдать два правила. Правило вежливости – нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник. Правило честности – самым первым ходом в игре нельзя брать сразу все конфеты. Кто выиграет при правильной игре и заберёт себе все конфеты: начинающий или его партнёр?

♦ Если в пакете 2 леденца, то первый берёт один; второй тоже берёт один и побеждает. Если в пакете 4 леденца, и первый взял один леденец, то дальше по очереди они могут брать только по одному леденцу, и выигрыш у второго. Если первый взял два или три леденца, то второй забирает остальные и побеждает. После разбора случая восьми леденцов, а при необходимости 16 и т. д., становится ясно, что если первый возьмёт половину или больше леденцов, то проиграет; если игрок оставит нечётное число леденцов, то проиграет… Ответ. Выигрывает партнёр начинающего.

9.1. Найдите все целые числа , для которых  делится на .

♦ Отсюда, 2 делится на . Поэтому  равно  или Ответ. 0; 1.

 

9.2. Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

♦ Предположим дробь сократима на натуральное число . Тогда  Откуда  делитель числа 6,  или 6. Если  то  Если  то   Если  то

Ответ. может равняться  Дробь  сократима на 2.

 может равняться . Дробь  сократима на 3.

 может равняться  Дробь  сократима на 6.

9.3. Пусть  скорость лыжника на спуске,  – на подъёме,  – длина подъёма, тогда – длина спуска. ;

 =

♦ Ответ. В 2,5 раза.

9.4. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?

♦Ширина щели  см для кошки не проблема.

 

9.5. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Четырёхугольник является трапецией тогда и только тогда, когда найдутся два противоположных треугольника, у которых площади равны. Докажите.

♦  Пусть  точка пересечения диагоналей трапеции . Так как треугольников  и  основание общее, а высоты равны, то площади треугольников равны.

Доказано, что в трапеции два противоположных треугольника равновелики.

 точка пересечения диагоналей четырёхугольника  Пусть  Тогда так как Площади треугольников равны, основание общее, поэтому у них высоты равны. Это означает, что . Четырёхугольник  трапеция.

10.1. Сумма двух целых чисел равна их произведению. Найдите эти числа.

♦ Надо решить в целых числах уравнение  Перепишем его так:  Или  В левой части вынесем общий множитель  за скобки Отсюда, либо либо Ответ. (0; 0), (2; 2).

10.2. Решите уравнение

♦ Ясно, что  Разделив обе части уравнение на  приведём его к виду  Так как  а  то  или

Ответ. Корней нет.

10.3. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других противоположных треугольников. Докажите.

♦ Пусть  точка пересечения диагоналей трапеции  и

Здесь правые части равны, а поэтому и левые части равны.

10.4. Ведущий и каждый из 30 игроков записывают числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем записи сравнивают. Если у игрока и ведущего на одном и том же месте располагаются одинаковые числа, то игрок получает одно очко. Оказалось, что все игроки набрали различные количества очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.

♦ Допустим первый игрок набрал 0 баллов, второй 1, третий 2, …, двадцать девятый 28. Тогда тридцатый набрал 30 баллов, т. е. его запись совпала с записью ведущего. Другие варианты приводят к этому ещё быстрее.

10.5. Найдите непрерывную функцию  такую, что  для всех

♦

Ответ.   где  постоянная величина.

11.1. Про целые числа  и  известно, что  Каково наименьшее возможное значение

♦ Из равенства  следует, что  делится на 5, поэтому  делится на , отсюда делится на . Из этого же равенства следует, что  делится на 2, поэтому  делится на 4, а значит,  делится на 2, соответственно,  делится на , т. е.  делится на . Отсюда,  делится на .. Ответ. 200000 = .

11.2. Решите уравнение

♦ Ясно, что Все выражения в скобках суммы  принимают только неположительные значения, поэтому уравнение равносильно системе  Отсюда,

Ответ. (0; 1).

11.3. Пусть  – точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки . Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат виден под прямым углом.

♦ Ответ. 4 полуокружности.

11.4. Все диагонали параллелепипеда равны. Докажите, что он прямоугольный.

♦Воспользоваться тем, что если диагонали параллелограмма равны, то он – прямоугольник.

11.5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система имеет единственное решение

.

♦ Если  решение системы при , то  тоже решение. Решение единственное при  А при  система приобретает вид  или  При  система  При  система  имеет решение (0; 2). Действительно, при  из первого уравнения , а из второго , противоречие,

т. е. решений, в которых , нет

Ответ. Система имеет единственное решение при