Задачи районных олимпиад по математике 2013 г.

Класс

1.На прямой выбраны точки  и  на расстоянии 10. Где на этой прямой находится точка , если длина отрезка  в полтора раза больше длины отрезка

2.Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

3.В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два чётных числа?

4.Царь выделял на содержание писарского приказа 1000 рублей в год (все писари получали поровну). Царю посоветовали сократить численность писарей на 50 %, а оставшимся писарям повысить жалованье на 50 %. На сколько изменятся при этом затраты царя на писарский приказ?

5.В мешочке лежат 128 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое количество конфет. Но надо соблюдать два правила. Правило вежливости – нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник. Правило честности – первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Кто выиграет при правильной игре и заберёт себе все конфеты: начинающий или его партнёр?

 

Задачи районных олимпиад по математике 2013 г.

Класс

1. Найдите все целые числа , для которых  делится на .

2.Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

3.Треть лыжной трассы состоит из подъёмов, а две трети из спусков. Чтобы пройти трассу в одном направлении лыжнику требуется 33 минуты, а чтобы пройти в противоположном направлении – на 11 минут больше. Во сколько раз скорость лыжника на спусках больше, чем на подъёмах? Скорости на спусках и на подъёмах считаем постоянными.

4.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?

5.Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Четырёхугольник является трапецией тогда и только тогда, когда найдутся два противоположных треугольника, у которых площади равны. Докажите.

 

Задачи районных олимпиад Приморского края по математике 2013 г.

Класс

1. Сумма двух целых чисел равна их произведению. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение

3. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Назовём два из них противоположными, если у них есть общая вершина, но нет общих сторон. Произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других противоположных треугольников. Докажите.

4. Ведущий и каждый из 30 игроков записывают числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем записи сравнивают. Если у игрока и ведущего на одном и том же месте располагаются одинаковые числа, то игрок получает одно очко. Оказалось, что все игроки набрали различные количества очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.

5. Найдите непрерывную функцию такую, что  для всех