Муниципальный этап всероссийской олимпиады по математике

Владивосток, 9 ноября 2013 г., 11 класс

Победитель: Шибаев Иннокентий, МБОУ «Гимназия 1»

Призёры: Прохоров Дмитрий, МБОУ СОШ № 81,

              Шевченко Александр, МБОУ СОШ № 23

Участников 74: решили задачу 1 – 1; задачу 2 – 7; задачу 3 – 6; задачу 4 – 5; задачу 5 – 2.

1. Для последовательностей  и докажите, что , где  – целая часть ;

2. Решите уравнение

3. Пусть  – точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки .Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат  виден под углом .

4. В доме 123 жильца, им вместе 3813 лет. Можно ли выбрать 100 из них, которым вместе не менее 3100 лет?

5. В тетраэдре (не обязательно правильном) два противоположных ребра перпендикулярны друг другу и имеют одну и ту же длину . Кроме того, каждое из них перпендикулярно отрезку длины , которое соединяет их середины. Найдите объём тетраэдра.

 

Решения задач Владивостокской городской олимпиады

По математике 2013 г.

8.1. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два числа, делящихся на 13?

♦Нет. Тогда все предыдущие должны делиться на 13. А это не так.

8.2. Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

♦ Предположим дробь сократима на натуральное число . Тогда  Откуда  делитель числа 1,  или 1.

Ответ. Дробь несократима

8.3. Найдите  , если .

♦ Преобразуем уравнение .Применим замену , и заметим, что . Полученное в результате замены уравнение приведём к виду . Очевидные действия:

;

; ;

 или Ответ.

Докажем, что Для положительных  очевидно, что ; откуда  и  Тогда , для отрицательных  имеем . Поэтому

♦ Другое решение. Выполнив умножение в левой части уравнения приведём уравнение к виду или  тогда  и , . Мы воспользовались тем, что

8.4. На стороне  треугольника  взята точка , а на стороне  точка . Отрезки  и  пересекаются в точке  Оказалось, что  и . Докажите, что треугольник  равнобедренный.

♦ Треугольник равнобедренный, поэтому  тогда  и . Треугольник  равнобедренный.

8.5. В пакете 256 леденцов. Двое играющих поочерёдно берут себе из пакета любое число леденцов, соблюдая два правила: правило вежливости – нельзя брать леденцов больше, чем взял противник, и правило честности – первым ходом нельзя брать все леденцы сразу. Победителем считается взявший последний леденец. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

♦ Если в пакете 2 леденца, то первый берёт один; второй тоже берёт один и побеждает. Если в пакете 4 леденца, и первый взял один леденец, то дальше по очереди они могут брать только по одному леденцу, и выигрыш у второго. Если первый взял два или три леденца, то второй забирает остальные и побеждает. После разбора случая восьми леденцов, а при необходимости 16 и т. д., становится ясно, что если первый возьмёт половину или больше леденцов, то проиграет; если игрок оставит нечётное число леденцов, то проиграет… Ответ. Выигрывает партнёр начинающего.

 

9.1. Числа  образуют арифметическую прогрессию, если существует число  для которого , … Числа  образуют геометрическую прогрессию, если существует число  для которого , … Три числа являются членами арифметической прогрессии. Три других числе являются членами геометрической прогрессии. Складывая соответствующие члены двух прогрессий последовательно, получили числа 85; 76 и 84 соответственно. Сумма всех членов арифметической прогрессии равна 126. Найдите эти прогрессии.

♦ Ответ. 68; 42; 16 и 17, 34; 68;  17; 42; 67 и 68; 34; 17.

Если арифметическую прогрессию образуют числа , а геометрическую числа , то  Осталось решить систему.

9.2. Известно, что  Найдите все аналогичные представления числа 5757 (т. е. 5757 =  для целых  и  Докажите, что других нет.

♦ Ответ. Других нет. Предположим, что 5757 = ,  и . Если оба числа  и  делятся на 3, то  делится на 9, а 5757 делится на 3, но на 9 не делится. Противоречие. Если оба числа  и  чётны или нечётны, то  чётно, а 5757 нечётно. Противоречие. Если одно делится на 3, а другое нет, то вновь – противоречие: слева число не делится на 3, а справа делится. Эти рассуждения удобнее проводить, рассматривая остатки от деления чисел  и  на 6. В силу равноправия чисел  и  из симметричных вариантов можно рассматривать только один.

Остаток от деления  на 6	Остаток от деления  на 6	5757 =
0	0	Оба чётны. Невозможно.
0	1	Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно.
0	2	Оба чётны. Невозможно.
0	3	Оба делятся е\на 3. Невозможно.
0	4	Оба чётны. Невозможно.
0	5	Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно.
1	1	Оба нечётны. Невозможно.
1	2
1	3	Второе делится на 3, а первое нет. Невозможно.
1	4	все другие суммы больше 5757
1	5	Оба нечётны. Невозможно.
2	2	Оба чётны. Невозможно.
2	3	Второе делится на 3, а первое не. Невозможно.
2	4	Оба чётны. Невозможно.
2	5
3	3	Оба делятся на 3. Невозможно.
3	4	Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно.
3	5	Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно.
4	4	Оба чётны. Невозможно.
4	5
5	5	Оба нечётны. Невозможно.

 

9.3. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?

♦ Ширина щели  см для кошки не проблема.

9.4. Решите в целых числах

♦ Ответ. (2; –1;–1;–-1), (–2; 1; 1; 1), (–1; 2;–1;–-1), (1; –2; 1; 1), (–1; –1; 2;–1), (1; 1; –2; 1),

(–1; –1;–1; 2), (1; 1; 1; –2). После вычитания из первого второе уравнение, получим Отсюда,  или . Аналогично получим  или ; а также  или . Рассмотрим один из восьми возможных случаев . Тогда система сводится к одному уравнению . Из того, что  следует  или ..Если , то . Если  , то . Получили первое и второе целочисленныерешения системы.

9.5. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда все четыре треугольника равновелики (т. е. все их площади равны).

♦  Площади любых смежных треугольников равны, так как у них основания равны, высота общая. Остальное очевидно.

 Диагонали разбивают четырёхугольник  на 4 равновеликих треугольника; Пусть  точка пересечения диагоналей четырёхугольника  Пусть  Тогда  так как Площади треугольников равны, основание общее, поэтому у них высоты равны. Это означает, что . Аналогично доказывается, что  Стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, это – параллелограмм.

10.1. Числа  и числа  образуют арифметические програссии. При этом  . Чему равно

♦ Пусть Характеристическое свойство арифметической прогрессии можно записать так для первой прогрессии и так  для второй.

или .

Если , то , что противоречит условию. Поэтому . Ответ.

10.2. Докажите, что нулевое решение (0; 0; 0) является единственным целочисленным решением уравнения

♦ Если в решении одно из чисел 0, то и остальные два числа нули.. Пусть k  – наибольшая степень двойки, которая делит и ненулевого решения тогда . В левой части полученного уравнения все три слагаемых не могут быть чётными одновременно, так как по крайней мере одно из чисел  и  нечётно. Не могут они быть все нечётными одновременно, так тогда слева число нечётное, а справа чётное. По этой же причине не может быть только одно нечётное. Если же предположим, что среди них ровно два нечётных, то окажется, что левая часть при делении на 4 даёт в остатке 2, а правая 0. Противоречие. Поэтому других решений, кроме нулевого, нет.

10.3. Точки  и  лежат, соответственно, на сторонах  и  квадрата . При этом  и  параллельны, а углы  и  прямые. Докажите, что центр квадрата делит отрезок  пополам.

♦ Пусть  середина отрезка  По теореме Фалеса она лежит на средней линии квадрата, параллельной сторонам  и В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому . Точка  равноудалена от концовотрезка  и поэтому лежит на серединном перпендикуляре отрезка , т. е. на второй средней линии квадрата. Точка  оказалась точкой пересечения средних линий квадрата, центром квадрата.

10.4. Существует ли 19 последовательных натуральных чисел, сумма которых делится на 87?

♦ Ответ. Да. Просуммируем равенства

87        = 87,

                                          86 + 88     = ,

                                          85 + 89     = ,

                                                   … … …

                                           78 + 96      = .

Получим слева сумму 19 последовательных целых чисел от 78 до 96, а справа число, кратное 87.

 

10.5.Известно, что  Решите уравнение

 

♦ Так как при , то  для всех  поэтому  Уравнение равносильно такому Если , то  и поэтому  Последнее выполняется всегда, поэтому в ответ идут все числа . Если , то  и  поэтому Ответ.

11.1. Для последовательностей  и  докажите, что , где  – целая часть ;

♦Заметим, что  не целое, так как , либо  не является полным квадратом.Также – не целое, так как  не делится на 4.Доказательство проведём от противного. Пусть  Тогда

;

 А такого быть не может. Поэтому ,

Пусть  Тогда ;

Такого тоже быть не может. Поэтому , .

 

11.2. Решите уравнение

♦  Преобразуем уравнение:  Здесь  Поэтому уравнение равносильно системе

Ответ. (0; 1).

11.3. Пусть  – точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки . Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат виден под углом .

♦ Ответ 8 четвертинок окружности.

11.4. В доме 123 жильца, им вместе 3813 лет. Можно ли выбрать 100 из них, которым вместе не менее 3100 лет?

♦ Ответ. Да. Расположим жильцов в порядке возрастания возрастов. Возьмём сто самых старших и предположим им вместе меньше 3100 лет. Тогда возраст самого молодого из них меньше 31 года, а сумма всех 123 жильцов меньше, чем  Противоречие. Значит, сумма возрастов ста самых старших жильцов не меньше 3100 лет. 

11.5. В тетраэдре (не обязательно правильном) два противоположных ребра перпендикулярны друг другу и имеют одну и ту же длину . Кроме того, каждое из них перпендикулярно отрезку длины , которое соединяет их середины. Найдите объём тетраэдра.

♦. Сечение, проходящее через ребро длины  и перпендикулярный ему отрезок длины  разбивает тетраэдр на два тетраэдра, у каждого из которых высота равна , а в основании лежит треугольник площади  Ответ.