Владивосток, 9 ноября 2013 г., 11 класс
Победитель: Шибаев Иннокентий, МБОУ «Гимназия 1»
Призёры: Прохоров Дмитрий, МБОУ СОШ № 81,
Шевченко Александр, МБОУ СОШ № 23
Участников 74: решили задачу 1 – 1; задачу 2 – 7; задачу 3 – 6; задачу 4 – 5; задачу 5 – 2.
1. Для последовательностей 
и 
докажите, что 
, где 
– целая часть 
; 
2. Решите уравнение 
3. Пусть 
– точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки .Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат виден под углом 
.
4. В доме 123 жильца, им вместе 3813 лет. Можно ли выбрать 100 из них, которым вместе не менее 3100 лет?
5. В тетраэдре (не обязательно правильном) два противоположных ребра перпендикулярны друг другу и имеют одну и ту же длину 
. Кроме того, каждое из них перпендикулярно отрезку длины 
, которое соединяет их середины. Найдите объём тетраэдра.
Решения задач Владивостокской городской олимпиады
По математике 2013 г.
8.1. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два числа, делящихся на 13?
♦Нет. Тогда все предыдущие должны делиться на 13. А это не так.
8.2. Обыкновенная дробь 
называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких 
и на что можно сократить дробь 
♦ Предположим дробь сократима на натуральное число 
. Тогда 
Откуда 
делитель числа 1, 
или 1.
Ответ. Дробь несократима
8.3. Найдите 
, если 
.
♦ Преобразуем уравнение 
.Применим замену 
, и заметим, что 
. Полученное в результате замены уравнение 
приведём к виду 
. Очевидные действия:
;
; 
;
или 
Ответ. 
Докажем, что 
Для положительных очевидно, что 
; откуда 
и 
Тогда 
, для отрицательных имеем 
. Поэтому
♦ Другое решение. Выполнив умножение в левой части уравнения 
приведём уравнение к виду 
или 
тогда 
и 
, . Мы воспользовались тем, что 
8.4. На стороне 
треугольника 
взята точка 
, а на стороне 
точка 
. Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Оказалось, что 
и 
. Докажите, что треугольник равнобедренный.
♦ Треугольник 
равнобедренный, поэтому 
тогда 
и 
. Треугольник равнобедренный.
8.5. В пакете 256 леденцов. Двое играющих поочерёдно берут себе из пакета любое число леденцов, соблюдая два правила: правило вежливости – нельзя брать леденцов больше, чем взял противник, и правило честности – первым ходом нельзя брать все леденцы сразу. Победителем считается взявший последний леденец. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?
♦ Если в пакете 2 леденца, то первый берёт один; второй тоже берёт один и побеждает. Если в пакете 4 леденца, и первый взял один леденец, то дальше по очереди они могут брать только по одному леденцу, и выигрыш у второго. Если первый взял два или три леденца, то второй забирает остальные и побеждает. После разбора случая восьми леденцов, а при необходимости 16 и т. д., становится ясно, что если первый возьмёт половину или больше леденцов, то проиграет; если игрок оставит нечётное число леденцов, то проиграет… Ответ. Выигрывает партнёр начинающего.
9.1. Числа 
образуют арифметическую прогрессию, если существует число 
для которого 
, … Числа 
образуют геометрическую прогрессию, если существует число 
для которого 
, … Три числа являются членами арифметической прогрессии. Три других числе являются членами геометрической прогрессии. Складывая соответствующие члены двух прогрессий последовательно, получили числа 85; 76 и 84 соответственно. Сумма всех членов арифметической прогрессии равна 126. Найдите эти прогрессии.
♦ Ответ. 68; 42; 16 и 17, 34; 68; 17; 42; 67 и 68; 34; 17.
Если арифметическую прогрессию образуют числа 
, а геометрическую числа 
, то 
Осталось решить систему.
9.2. Известно, что 
Найдите все аналогичные представления числа 5757 (т. е. 5757 = 
для целых 
и 
Докажите, что других нет.
♦ Ответ. 
Других нет. Предположим, что 5757 = , 
и 
. Если оба числа и 
делятся на 3, то делится на 9, а 5757 делится на 3, но на 9 не делится. Противоречие. Если оба числа и чётны или нечётны, то чётно, а 5757 нечётно. Противоречие. Если одно делится на 3, а другое нет, то вновь – противоречие: слева число не делится на 3, а справа делится. Эти рассуждения удобнее проводить, рассматривая остатки от деления чисел и на 6. В силу равноправия чисел и из симметричных вариантов можно рассматривать только один.
| Остаток
от деления
на 6
| Остаток
от деления
на 6
|
5757 =
|
| 0 | 0 | Оба чётны. Невозможно. |
| 0 | 1 | Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно. |
| 0 | 2 | Оба чётны. Невозможно. |
| 0 | 3 | Оба делятся е\на 3. Невозможно. |
| 0 | 4 | Оба чётны. Невозможно. |
| 0 | 5 | Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно. |
| 1 | 1 | Оба нечётны. Невозможно. |
| 1 | 2 | 
|
| 1 | 3 | Второе делится на 3, а первое нет. Невозможно. |
| 1 | 4 |  все другие суммы больше 5757
|
| 1 | 5 | Оба нечётны. Невозможно. |
| 2 | 2 | Оба чётны. Невозможно. |
| 2 | 3 | Второе делится на 3, а первое не. Невозможно. |
| 2 | 4 | Оба чётны. Невозможно. |
| 2 | 5 | 
|
| 3 | 3 | Оба делятся на 3. Невозможно. |
| 3 | 4 | Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно. |
| 3 | 5 | Первое делится на 3, а второе нет. Невозможно. |
| 4 | 4 | Оба чётны. Невозможно. |
| 4 | 5 | 
|
| 5 | 5 | Оба нечётны. Невозможно. |
9.3. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?
♦ Ширина щели 
см для кошки не проблема.
9.4. Решите в целых числах
♦ Ответ. (2; –1;–1;–-1), (–2; 1; 1; 1), (–1; 2;–1;–-1), (1; –2; 1; 1), (–1; –1; 2;–1), (1; 1; –2; 1),
(–1; –1;–1; 2), (1; 1; 1; –2). После вычитания из первого второе уравнение, получим 
Отсюда, 
или 
. Аналогично получим 
или 
; а также 
или 
. Рассмотрим один из восьми возможных случаев 
. Тогда система сводится к одному уравнению 
. Из того, что 
следует 
или 
..Если , то 
. Если , то 
. Получили первое и второе целочисленныерешения системы.
9.5. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда все четыре треугольника равновелики (т. е. все их площади равны).
♦ 
Площади любых смежных треугольников равны, так как у них основания равны, высота общая. Остальное очевидно.
Диагонали разбивают четырёхугольник 
на 4 равновеликих треугольника; Пусть 
точка пересечения диагоналей четырёхугольника 
Пусть 
Тогда 
так как 
Площади треугольников равны, основание общее, поэтому у них высоты равны. Это означает, что 
. Аналогично доказывается, что 
Стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, это – параллелограмм.
10.1. Числа 
и числа 
образуют арифметические програссии. При этом 
. Чему равно 
♦ Пусть 
Характеристическое свойство арифметической прогрессии можно записать так 
для первой прогрессии и так 
для второй.
или 
.
Если , то 
, что противоречит условию. Поэтому . Ответ.
10.2. Докажите, что нулевое решение (0; 0; 0) является единственным целочисленным решением уравнения 
♦ Если в решении одно из чисел 0, то и остальные два числа нули.. Пусть 
k 
– наибольшая степень двойки, которая делит 
и 
ненулевого решения 
тогда 
. В левой части полученного уравнения все три слагаемых не могут быть чётными одновременно, так как по крайней мере одно из чисел 
и 
нечётно. Не могут они быть все нечётными одновременно, так тогда слева число нечётное, а справа чётное. По этой же причине не может быть только одно нечётное. Если же предположим, что среди них ровно два нечётных, то окажется, что левая часть при делении на 4 даёт в остатке 2, а правая 0. Противоречие. Поэтому других решений, кроме нулевого, нет.
10.3. Точки 
и 
лежат, соответственно, на сторонах 
и 
квадрата . При этом 
и параллельны, а углы 
и 
прямые. Докажите, что центр квадрата делит отрезок 
пополам.
♦ Пусть середина отрезка 
По теореме Фалеса она лежит на средней линии квадрата, параллельной сторонам и 
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому 
. Точка равноудалена от концовотрезка и поэтому лежит на серединном перпендикуляре отрезка , т. е. на второй средней линии квадрата. Точка оказалась точкой пересечения средних линий квадрата, центром квадрата.
10.4. Существует ли 19 последовательных натуральных чисел, сумма которых делится на 87?
♦ Ответ. Да. Просуммируем равенства
87 = 87,
86 + 88 = 
,
85 + 89 = ,
… … …
78 + 96 = .
Получим слева сумму 19 последовательных целых чисел от 78 до 96, а справа число, кратное 87.
10.5.Известно, что 
Решите уравнение 
♦ Так как 
при 
, то 
для всех 
поэтому 
Уравнение равносильно такому 
Если 
, то 
и 
поэтому 
Последнее выполняется всегда, поэтому в ответ идут все числа . Если 
, то 
и 
поэтому 
Ответ. 
11.1. Для последовательностей и докажите, что , где – целая часть ;
♦Заметим, что 
не целое, так как 
, либо 
не является полным квадратом.Также 
– не целое, так как 
не делится на 4.Доказательство проведём от противного. Пусть 
Тогда
; 
А такого быть не может. Поэтому 
,
Пусть 
Тогда 
; 
Такого тоже быть не может. Поэтому 
, .
11.2. Решите уравнение 
♦ 
Преобразуем уравнение: 
Здесь 
Поэтому уравнение равносильно системе
Ответ. (0; 1).
11.3. Пусть – точка из этой же плоскости, взятая вне квадрата. Наименьший угол с вершиной , содержащий в себе квадрат, является углом, под которым квадрат виден из точки . Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых данный в этой плоскости квадрат виден под углом .
♦ Ответ 8 четвертинок окружности.
11.4. В доме 123 жильца, им вместе 3813 лет. Можно ли выбрать 100 из них, которым вместе не менее 3100 лет?
♦ Ответ. Да. Расположим жильцов в порядке возрастания возрастов. Возьмём сто самых старших и предположим им вместе меньше 3100 лет. Тогда возраст самого молодого из них меньше 31 года, а сумма всех 123 жильцов меньше, чем 
Противоречие. Значит, сумма возрастов ста самых старших жильцов не меньше 3100 лет.
11.5. В тетраэдре (не обязательно правильном) два противоположных ребра перпендикулярны друг другу и имеют одну и ту же длину . Кроме того, каждое из них перпендикулярно отрезку длины , которое соединяет их середины. Найдите объём тетраэдра.
♦. Сечение, проходящее через ребро длины и перпендикулярный ему отрезок длины 
разбивает тетраэдр на два тетраэдра, у каждого из которых высота равна 
, а в основании лежит треугольник площади 
Ответ. 
