Владивосток, 16 ноября 2013 г., 10 класс

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Владивосток, 30 ноября 2013 г., 8 класс

Победитель: Сергеева Анастасия, Гуманитарно-экономический колледж ДВФУ

Призёр: Иванов Егор, МБОУ СОШ № 13

Участников 66: решили задачу 1 – 7; задачу 2 – 0; задачу 3 – 7; задачу 4 – 42; задачу 5 – 0.

1. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два числа, делящихся на 13?

2. Обыкновенная дробь  называется сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число, больше 1. При каких  и на что можно сократить дробь

3. Найдите  , если .

4. На стороне  треугольника  взята точка , а на стороне  точка . Отрезки  и  пересекаются в точке  Оказалось, что  и . Докажите, что треугольник  равнобедренный.

5. В пакете 256 леденцов. Двое играющих поочерёдно берут себе из пакеталюбое число леденцов, соблюдая два правила: правило вежливости – нельзя брать леденцов больше, чем только что взял противник, и правило честности – самым первым ходом в игре нельзя брать все леденцы сразу. Победителем считается взявший последний леденец. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Владивосток, 23 ноября 2013 г., 9 класс

Победитель: Вознов Пётр, лицей «Технический»

Призёры: Шлык Иван, МБОУ СОШ № 23

Зикрицкий Гордей, МБОУ СОШ № 23

Участников 117: решили задачу 1 – 6; задачу 2 – 43; задачу 3 – 12; задачу 4 – 1: задачу 5 – 3.

1. Числа  образуют арифметическую прогрессию, если существует число  для которого , … Числа  образуют геометрическую прогрессию, если существует число  для которого , … Три числа являются членами арифметической прогрессии. Три других числе являются членами геометрической прогрессии. Складывая соответствующие члены двух прогрессий последовательно, получили числа 85; 76 и 84 соответственно. Сумма всех членов арифметической прогрессии равна 126. Найдите эти прогрессии.

2. Известно, что  Найдите все аналогичные разложения числа 5757 (т. е. 5757 =  для целых  и  и докажите, что других нет.

3. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка?

4. Решите в целых числах

5. Диагонали разрезают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда все четыре треугольника равновелики (т. е. все их площади равны).

 

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Владивосток, 16 ноября 2013 г., 10 класс

Победитель: Понамарёва Ирина, МБОУ «Гимназия 1»

Призёр: Овчинников Максим, МБОУ СОШ № 23    

Участников 86: решили задачу 1 – 1; задачу 2 – 0, задачу 3 – 2, задачу 4 – 23: задачу 5 – 5.

1. Числа  и числа  образуют арифметические прогрессии. При этом  . Чему равно

2. Докажите, что нулевое решение (0; 0; 0) является единственным целочисленным решением уравнения

3.Точки  и  лежат, соответственно, на сторонах  и  квадрата . При этом  и  параллельны, а углы  и  прямые. Докажите, что центр квадрата делит отрезок  пополам.

4. Существует ли 19 последовательных натуральных чисел, сумма которых делится на 87?

5. Известно, что  Решите уравнение