Постановка задачи оптимального управления

 

Пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений

,                                             (2.1)

где  – вектор координат объекта или фазовых координат,  – заданная вектор-функция, – вектор управлений или просто управление. В уравнении (2.1) векторы x, u являются функциями переменной t, обозначающей время, причем , где  – отрезок времени, на котором происходит управление системой.

На управление обычно накладывается условие

,                              (2.2)

где – заданное множество в при каждом .

Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке (т.е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r -мерную вектор-функцию u, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке T. Управление называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (2.2).

Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т.д.

Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (2.2).

Покажем, как при произвольном начальном положении  и допустимом управлении u определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши

.              (2.3)

Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (2.3). Для этого поступим следующим образом.

Пусть функция u имеет скачки в точках . Предположим, что задача (2.3) имеет решение x, определенное на всем отрезке , причем . Далее рассмотрим задачу Коши

.

Предполагая, что она имеет решение на отрезке и , приходим к задаче

.

и т.д.

Если функцию x удалось определить указанным способом на всем отрезке , то будем называть ее решением задачи (2.3) или фазовой траекторией, соответствующей управлению u. Отметим, что x – непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке  равенству

.

При выполнении определенных условий на f решение задачи (2.3), соответствующее управлению u, существует и единственно при произвольном начальном положении x ⁰ и произвольном управлении u. Пример таких условий дает следующая теорема.

Теорема. Пусть вектор-функция f определена и непрерывна по совокупности аргументов на  и удовлетворяет условию Липшица по x с некоторой константой M >0:

,

.

Тогда при любом  и любом кусочно-непрерывном управлении u задача (2.3) имеет единственное решение, определенное на всем отрезке .

Доказательство теоремы, а также более общие факты, касающиеся решения дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, можно найти, например, в [5].

Помимо ограничений на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты

.                                 (2.4)

Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:

;          (2.5)

здесь  – заданные множества из Rⁿ; – заданные множества из R, причем . Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы. Случаю фиксированных  соответствуют множества , состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем.

Если  при любом , то левый конец траектории называют закрепленным. Если же  при всех , то левый конец траектории называют свободным. Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным. В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории.

Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала. Мы будем рассматривать задачу с целевым функционалом

,                        (2.6)

представляющим собой сумму интегрального функционала  и терминального функционала . Эта задача называется задачей Больца. Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задачей с терминальным функционалом, называемая задачей Майера. Задача с интегральным функционалом при  называется задачей оптимального быстродействия.

Задача оптимального управления заключается в минимизации функционала (2.6) на множестве наборов  таких, что , управление u допустимо, траектория x определяется в результате решения задачи Коши (2.3), причем  и выполнены условия (2.4).

Набор  минимизирующий функционал (2.6), называется решением задачи оптимального управления, управление u – оптимальным управлением, а траектория x – оптимальной траекторией. Часто решением задачи оптимального управления называют пару .