Задачи на условный экстремум

 

Довольно часто приходится встречаться с задачами, в которых функции, доставляющие экстремум функционалу, сами подчинены некоторым добавочным условиям (уравнениям связи). Задачи такого типа называются задачами на условный экстремум.

 

Пусть требуется найти экстремум функционала

при краевых условиях у (а) = у ₁ и у (в) = у ₂ и при выполнении условий связи, которые могут выражаться дифференциальными уравнениями

или интегральными

Дифференциальные соотношения называются дифференциальными связями. Особое значение имеет частный случай, когда q (x, y) не зависит от производной – в вариационном исчислении эти связи называются фазовыми ограничениями, а в теоретической механике – голономными связями.

Интегральные соотношения называются изопериметрическими связями. Название «изопериметрическая связь» произошло от одной из задач: среди всех замкнутых кривых длины ℓ найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь (изопериметрические линии – линии, имеющие одинаковую длину). Методом  решения поставленных задач является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Метод состоит в следующем. Для того чтобы найти экстремум функционала

при условии φ (x, y, z) = 0, т. е. при фазовых ограничениях, необходимо ввести вспомогательную (промежуточную) функцию

где λ (х) – неизвестная функция от «х», и искать обычными методами безусловный экстремум функционала

Таким образом, необходимо найти три неизвестные функции у (х), z (х), λ (х). Для их определения имеем три уравнения – два уравнения Эйлера для функционала J ₁

                                   

и уравнение связи φ (x, y, z) = 0.                                            

Обосновывается этот метод следующей теоремой.

Если кривая у = у (х), z = z (х) дает условный экстремум функционалу , то существует такой множитель λ (х), что эта кривая является экстремалью функционала

где φ (x, y, z) = 0 является уравнением связи.

Эта задача называется общей задачей Лагранжа. Особо отметим, что метод неопределенных множителей Лагранжа распространяется и на отыскание условий трансверсальности. Они записываются так же, как и для простейшей задачи, только роль функции f играет вспомогательная функция L = f + l×j.  Правило распространяется и на условия Лежандра.

     

 

Изопериметрическая задача

 

Необходимо найти экстремум функционала

 

при условии, что другой функционал

сохраняет заданное значение.

Изопериметрическую задачу можно свести к общей задаче Лагранжа. Обозначив

получим  т. е. введя новую функцию , приходим к следующей задаче Лагранжа. Найти функции у (х) и , доставляющие экстремум функционалу J при наличии уравнения связи

y¢ - k (х, у, у ¢) = 0.

Тогда согласно методу неопределенных множителей Лагранжа необходимо составить уравнение Эйлера для вспомогательной функции

 

Уравнения Эйлера имеют вид

Из последнего уравнения следует, что λ = const, т. е. для изопериметрической задачи множитель Лагранжа обращается в постоянное число.