Уравнение Эйлера  (простейшая вариационная задача)

 

Исследуем на экстремум функционал

                                        (1.13)

где   непрерывная и трижды дифференцируемая функция своих аргументов.

Искомая функция, для которой этот функционал принимает экстремальное значение, удовлетворяет краевым условиям

y (x ₁) = у ₁; y (x ₂) = у ₂.                                        (1.14)

Задача о нахождении экстремума функционала (1.13) при условиях (1.14) называется вариационной задачей с закрепленными граничными точками.

Подчеркнем, что целью исследования является также и нахождение функции y (x), доставляющей экстремум функционалу (1.13).

Непрерывно дифференцируемые функции y (x), определенные на [ x ₁, x ₂] и удовлетворяющие условиям (1.14), называются допустимыми функциями.

Будем искать такую кривую у = y (x) на участке x ₁< x < x ₂, которая реализует экстремум функционала .

Примем, что решение найдено и соответствует функции y (x) = y _о(x). Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых y ₁(x) и y ₂(x). Уравнение, описывающее семейство кривых (допустимые функции), можно представить в виде

где η(х) – произвольная функция, обращающаяся в нуль на x = x ₁ и x = x ₂; α –  параметр. Каждой кривой будут соответствовать свои значения (числа) α, а значениям α = 0 будет соответствовать кривая y _о(x), доставляющая экстремум функционалу.

Первая вариация функционала будет

необходимое условие экстремума

d J = 0.

Запишем функционал в виде

Произведем дифференцирование под знаком интеграла

                                       (1.15)

Второй интеграл представим в виде

                                        (1.16)

и вычислим его по частям.

Если обозначить , то

С учетом введенных обозначений выражение (1.16) запишем в виде

                      

Учитывая, что кривые семейства  проходят через точки x ₁, y ₁ и x ₂, y ₂, можно записать

, а функция η (х) выбрана так, что η (х ₁) = 0 и η (х ₂) = 0.

Теперь выражение (1.15) можно записать в виде

или, учитывая, что

Тогда для вариации функционала имеем

Если учесть, что , то необходимое условие экстремума функционала будет

                         (1.17)

К выражению (1.17) применим лемму Лагранжа. Тогда вместо (1.17) запишем выражение, которое называется уравнением Эйлера

Экстремум функционала J будет достигаться только для таких кривых y (x), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению Эйлера.

Кривые, соответствующие решению уравнения Эйлера y = y (x, С₁, С₂), где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, называются экстремалями.

Для удобства записи введем принятые в вариационном исчислении условные обозначения

и т. д.

В этом случае уравнение Эйлера примет вид

      

Пример. Найти экстремали функционала

при граничных условиях y (0) = 4, y (2) = 6.

Решение.

 

Уравнение Эйлера

Решение второе входит в семейство первых. С₁ и С₂ находим из граничных условий.

С₂ = 4;

2С₁ + 4 = 6;

С₁ = 1.

Таким образом, экстремаль y = х +4.

Уравнение Эйлера не всегда интегрируется в квадратурах, поэтому важно рассмотреть частные случаи, когда такое интегрирование возможно.

1. Интегрант не зависит от

В этом случае  и уравнение Эйлера имеет вид   f _у = 0, т. е. является алгебраическим уравнением.

2. Интегрант линейно зависит от .

Этот случай охватывает предыдущий и соответствует функциям, для которых , т. е. f = f (x, y) или f = m (x, y) + n (x, y). Такие функционалы называются вырожденными.

3. Интегрант зависит только от .

В этом случае уравнение Эйлера:

Видно, что первый интеграл будет , т. е. алгебраическое уравнение относительно  и все его решения можно представить в виде , а экстремалями являются семейства функций y = С ₁ + С ₂ х  с произвольными постоянными, определяемыми из краевых условий.

4. Интегрант не зависит от у, т. е. может зависеть от  и х (если не зависит и от х, то это предыдущий случай). Уравнение Эйлера  и, следовательно, .

Это или дифференциальное уравнение первого порядка, или алгебраическое.

5. Интегрант не зависит явно от х

Если функционал не вырожденный, т. е. , то уравнение Эйлера сводится к следующему

Условие Лежандра

 

Предположим, что экстремаль найдена и первая вариация обращается в нуль. Тогда при достаточно малом параметре α члены высшего порядка малости в полном приращении функционала убывают быстрее, чем квадратичный член.

В этом случае знак полного приращения функционала       совпадает со знаком второй вариации

Вследствие этого, для того чтобы y (х) доставляла min функционалу, необходимо выполнение условия

для max соответственно

Условия Лежандра будут иметь вид:

при  имеем на экстремали min J,

при имеем на экстремали max J.