Символический метод расчета цепей синусоидального тока

 

Символическим методом расчета установившихся режимов в ли­нейных цепях синусоидального тока называют метод, использующий представление синусоидальных функций комплексными числами. Та­кой переход осуществляется с помощью соотношения Эйлера:

,

где

и .

(2.6)

 

Соотношение (2.6) позволяет поставить в соответствие синусои­дальной функции комплексное число. Так, для тока, напряжения и ЭДС запишем соответствие между синусоидальными функциями и комплексными числами:

(2.7)

где  – мнимая единица; ,  и  – комплексы действующих зна­чений тока, напряжения и ЭДС.

Такое представление позволяет при определении токов и напряже­ний в цепи перейти от решения систем уравнений с синусоидальными функциями времени к расчету систем алгебраических линейных урав­нений с комплексными коэффициентами. Систему уравнений можно получить как по законам Кирхгофа в комплексном виде, так и любым методом расчета цепей: по закону Ома, методом контурных токов, уз­ловых потенциалов, эквивалентного генератора или эквивалентными преобразованиями цепи. При составлении системы уравнений исполь­зуются схемы замещения цепи в комплексном виде.

 

Законы Кирхгофа в комплексной форме

1. Алгебраическая сумма комплексных значений токов в проводни­ках, соединенных в узел, равна нулю:

(2.8)

2. Алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС всех источников того же контура:

(2.9)

 

Векторные диаграммы

Для иллюстрации взаимосвязи между токами и напряжениями в конкретной схеме строят векторные диаграммы. Различают три вида векторных диаграмм.

Исходный элемент	Схема замещения	Векторная диаграмма
Источники ЭДС
Резистор
Емкость  – емкостное сопротивление (Ом)
Индуктивность  – индуктивное сопротивление (Ом)

 

Векторная диаграмма токов – представляет собой сумму векторов токов на комплексной плоскости, соответствующую первому закону Кирхгофа, записанному для определенного узла цепи.

Векторная диаграмма напряжений – это сумма векторов напряже­ний на комплексной плоскости, построенная в соответствии со вто­рым законом Кирхгофа.

Топографическая диаграмма – является диаграммой комплексных потенциалов цепи на комплексной плоскости, причем один из потен­циалов принимается равным нулю, а остальные потенциалы опреде­ляются через падения напряжения на элементах цепи.

При построении диаграмм должны быть заданы масштабы напря­жений, потенциалов и токов, тогда длина векторов напряжений и токов будет пропорциональна их действующим значениям, а угол поворота векторов относительно вещественной оси равен их начальной фазе. Положительные значения углов отсчитываются против направления вращения часовой стрелки, а отрицательных - по часовой стрелке.

Элементы линейной цепи гармонического тока, их схемы замеще­ния и векторные диаграммы приведены в табл. 2.1.

 

• Закон Ома в комплексной форме, треугольники сопротивлений и проводимостей

Рис. 2.7. Треугольники: а) сопротивлений; б) проводимостей; в) мощностей

 

Закон Ома в комплексной форме:

,

(2.10)

где – суммарное реактивное сопротивление ветви (рис. 2.7, а);  – комплексное сопротивление ветви;  – модуль и  – ее угол;  – суммарная комплексная проводимость ветвей, где  – модуль;  – угол;  и  – активная и реактивная проводимость (рис. 2.7, б).