Переход к преобразованию Лапласа

Преобразования Фурье и Лапласа

 

Приводятся условия, которым должна удовлетворять преобразуемая по Фурье функция f(t). Рассуждения распространяются на специальный случай преобразования Фурье - преобразование Лапласа. Дано (в виде таблицы) перечисление некоторых свойств преобразований Фурье и Лапласа. Рассмотрено обратное преобразование на основе применения теории вычетов. Для иллюстрации приложений обратного преобразования, а также выявления основных ограничений в теории преобразований Фурье и Лапласа, приводится несколько примеров. Наконец, класс преобразуемых по Фурье функций, путем применения множителя, улучшающего сходимость, распространяется на функции единичного скачка и степенные.

 

Преобразование Фурье; вводные замечания

 

Пара преобразований Фурье, применяемая далее, определяется соотношениями

,                    (1.1-1)

,                 (1.1-2)

где s=jw*). Доказательство того, что выполнение интегральных операций, определяемых соотношениями (1.1-1) и (1-1-2), приводит к исходной функции f(t), представляется очевидным. Подставив функцию F{s) (1.1-1) в (1.1-2) и заменяя в (1.1-2) t на х, приходим в результате к теореме о преобразовании Фурье

.        (1.1-3)

Условиями, налагаемыми на f{t) для того, чтобы она была преобразуема по Фурье, являются так называемые условия Дирихле 1—3 для любого конечного интервала t₁<t<t₂ и условие сходимости 4:

1) функция f{t) может иметь только конечное число разрывов;

2) функция f{t) может иметь только конечное число точек, в которых она обращается в бесконечность;

3) функция f{t) может иметь только конечное число максимумов и минимумов;

4) интеграл  должен быть сходящимся.

 

Переход к преобразованию Лапласа

Требование сходимости интеграла  накладывает на класс преобразуемых по Фурье функций определенное ограничение. Такие употребительные в технике функции, как функция единичного скачка, линейная функция или периодическое колебание, в строгом смысле не являются преобразуемыми по Фурье. Если несколько ослабить требование сходимости путем введения экспоненциального множителя, обеспечивающего сходимость, то класс преобразуемых функций существенно расширится. В этом плане покажем, что преобразование Лапласа является специальным случаем преобразования Фурье.

*) Вообще переменная s используется в качестве комплексной переменной s+jw. Однако в прямом преобразовании Фурье переменная s понимается только как мнимая часть, т. е. s=jw.

Предположим, что шкала времени выбрана так, что функция f(t) представляет интерес только при t>0; кроме того, введем множитель е^-st. Тогда условие сходимости, которому должна удовлетворять функция f(t), будет следующим:

 сходится.                            (1.2-1)

Нижняя граница множества чисел s, обеспечивающих сходимость интеграла, называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается через s_a. Теорема о преобразовании Фурье дает:

 

.       (1.2-2)

 

Умножая обе части этого соотношения на  и заменяя переменную интегрирования s=jw на s+jw, получим

.    (1.2-3)

Чтобы обеспечить теперь выполнение условия сходимости при интегрировании по переменной , ее действительная часть должна быть больше чем s_a. Обозначим это значение s>s_a через с. Мы можем, далее, рассматривать  как комплексную переменную и заменить ее на s. Отсюда непосредственно следует

 

                                  (1.2-4)

                            (1.2-5)

где s= и с >s_a.

Эти два уравнения составляют прямое и обратное преобразования Лапласа.