Целочисленные прямоугольные треугольники

Исследовательская работа

по математике

 

Автор: Сагитова Елена [4],

ученица 7 класса

лицея № 19 г. Тольятти

 

Руководители:  Утеева Р.А.,

Бабрышов Н.Г.

учитель математики высшей категории

лицея № 19 г. Тольятти

 

 

г. Тольятти, 1998.

Приложение 2

Образец оформления введения

ВВЕДЕНИЕ

 

Основная цель работы: исследование  
целочисленных прямоугольных треугольников.

Данная тема представляет определенный интерес, так как её истоки относятся к древности, так называемой знаменитой теореме Пифагора.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятием целочисленного прямоугольного треугольника;

2) выяснить, существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число n (n £20);

3) выяснить, при каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является;

4) выяснить, какими могут быть значения катетов и гипотенузы целочисленных прямоугольных треугольников (в смысле четности).

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод
подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и сравнение результатов; метод обобщения.

 

Приложение 3

 

Образец оформления основной части работы

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие прямоугольного треугольника

Определение 1. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника, образующие прямой угол называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла – гипотенузой.

Обычно длины катетов обозначают буквами a и  b, длину гипотенузы – с, причем a +  b >с.

 

1.2. Теорема Пифагора

Теорема: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, т.е. с помощью обозначений эту теорему можно записать так: a² +b² = с².

В настоящее время известно более 150 доказательств теоремы Пифагора, на которых мы не будем останавливаться, так как это не является предметом данной работы.

Отметим лишь, что эта теорема была известна в Древнем Вавилоне еще задолго до Пифагора (580-500 гг. до н.э.), примерно за 1000 лет.
По-видимому,  её назвали именем древнегреческого математика Пифагора, так как согласно
легенде, он одним из первых доказал ее.

В геометрии также доказана и обратная теорема к теореме Пифагора: если длины сторон треугольника a,  b и с  удовлетворяют условию        a² +b² = с² (1), то такой треугольник будет прямоугольным.

1.3. Понятие целочисленного прямоугольного треугольника

 

Треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным (по обратной теореме Пифагора), так как удовлетворяет указанному выше условию (1). Такие треугольники называются целочисленными прямоугольными треугольниками. Некоторые такие треугольники были известны еще в Древнем Вавилоне и Египте, например, треугольники с длинами сторон 5,12 и 13; 17, 24 и 25.

Понятие целочисленного треугольника тесно связано с понятием диофантового уравнения, т.е. уравнения вида х²+y²=z², которые также называются вавилонскими, а тройка чисел, удовлетворяющая этому уравнению, называется пифагоровой.

 

Часть 2. Постановка и решение задач

Исследования

2.1. Постановка первой задачи

 

Пусть дано, например. число n =12. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12?

Решение:

Пусть х и у – катеты прямоугольного
треугольника и 0 < у £ х < 12.

Тогда х²+y²=12² или х²+y²=144.

Составим таблицу 1.

Таблица 1

 

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
х2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121
у2	143	140	135	128	119	108	95	80	63	44	23

 

Из таблицы видно. что не существует целого значения у, значит не существует и целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 12.

Ответ: не существует целочисленного
прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, равной 12.

Пусть теперь n =13. Тогда нам нужно
решить уравнение х²+y²=169. 

Аналогично составим таблицу 2.

 

Таблица 2

 

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
у2	168	165	160	153	144	133	120	105	88	69	48	25

 

Из таблицы видно, что существует два
целых значения у: у=12 и у=5, значит с гипотенузой, равной 13, существует целочисленный прямоугольный треугольник с длинами сторон 5,12 и 13.

Для того чтобы и дальше не составлять
аналогичные таблицы, поступим по-другому. Так как по условию существования треугольника  
х+у > n и, мы положили, что у £ х, значит
х²+y²£ 2х², а 2х²³ n². Итак, 2х²³169, отсюда находим, что х²³84. Значит, достаточно проверить лишь три значения х²: 100, 121 и 144. Находим у², из которых только одно значение целое. Это у=5 при х = 12.

Аналогично исследуем все остальные значения n (n £20). Результаты представим в виде
таблицы 3 (Приложение). Ясно, что n ³3.

Треугольники со сторонами (3;4;5). (6;8;10), (9;12;15) подобны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только не подобные треугольники с гипотенузой n =5,13 и 17. Все эти числа оказались нечетными простыми числами.

Итак, сделаем первый вывод: существуют три (не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n, равной нечетному простому числу, где n£20.

2.2. Постановка второй задачи

 

При каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является?

Составим таблицу 4.

 

нечетное простое число р	Прямоугольные треугольники с гипотенузой р
3	не существует
5	25= 16+9
7	не существует
11	не существует
13	169 = 144 +25
17	289= 225+64
19	не существует
23	не существует
29	841= 441+400
31	не существует

 

Выпишем простые нечетные числа в два ряда и понаблюдаем за ними:

5, 13,17,29, … и 3,7,11,19,23,31, …

8 4 12         4 4 8 4 8

Итак, сделаем второй вывод: все разности делятся на 4, причем в первом случае остаток от деления простых чисел на 4 равен 1,  а во втором -3.

Возникает гипотеза: простое число вида 4к+1 является гипотенузой, а простое число вида 4к+3 –не является. Проверим ее.

2.3. Теорема о примитивной

пифагоровой тройке

Определение 2. Пифагорову тройку чисел, в которой все числа взаимно просты, называют
примитивной.

Например, (3,4,5) –примитивная пифагорова тройка, а (6,8,10) –непримитивная.

Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть четными (тогда и третье число должно быть четным), но все они не могут одновременно быть нечетными.

Вывод: в примитивной пифагоровой тройке должно быть одно число четное, а два нечетных.

……………………………………………..

Замечание: 1. Надеемся, что на данном
примере мы смогли показать вам, как примерно можно представить результаты своего исследования.

Мы не стали здесь приводить всю работу целиком, а показали лишь, как можно оформить её.

Приложение 4

 

Образец оформления заключения

 

Заключение

 

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Существует три (не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n (n £20), равной нечетному простому числу. В общем случае, конечно их бесконечно много, так как доказано в математике, что простых чисел бесконечно много.

2. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках только одна сторона
может быть выражена четным числом, остальные две стороны – нечетным.

3. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках гипотенуза не может быть выражена четным числом.

4. Стороны целочисленного прямоугольного треугольника могут быть найдены по различным формулам. Вывод одной из них представлен в
работе.

Приложение 5

 

Образец оформления  

списка использованной литературы

 

Литература:

 

1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 классов общеобразоват. учрежд. – М., 1996. С. 83-87.

 

2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики /Квантор.-1991.№6.С.33-35.

 

3. Пойа Дж. Математика и правдоподобные
рассуждения: перевод с анг. И.А. Вайнштейна /Под ред. С.А. Яновской. –Изд. 2-е.-М., 1975.С.80-82.

 

 

 

Учебное издание

 

Елена Юрьевна Сагитова, студентка группы  М 401
факультета математики и информатики ТГУ

Роза Азербаевна  Утеева, доктор педагогических наук, профессор, зав.кафедрой алгебры и геометрии ТГУ