Тема 3.  Проблема Гольдбаха

 

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. Например, 2×3=6; 3×5=15; 3×7=21 и т.д.

Живший в России в XVIII веке  немецкий математик Христиан Гольдбах (1690-1764)  решил складывать простые числа попарно. Он обнаружил удивительную закономерность, наблюдая за числами:

6 = 3+3; 8 =3+5; 10 = 3+7=5+5; 12 =5+7 и т.д.      (1)

Попробуй и ты обнаружить эту закономерность. Обрати внимание на числа, стоящие слева и справа в каждом примере.

Задания:

№1. Вспомни определение простых чисел.

№2. Составь  и запиши таблицу простых чисел до 100.

Замечание: При выполнении заданий №1, 2 можно использовать учебник математики, по - которому ты учишься.

№3. Обрати внимание на примеры записи (1). Что ты заметил общего в этих примерах?

№4. Попробуй продолжить запись для следующих чисел: 14 = __ + __ 

       16 = __ + __

№5. Если ты догадался, как продолжить запись (1), то продолжи её для чисел первой сотни.

№6. Посмотри внимательно на записанные примеры. Что ты заметил общего в этих примерах? Сформулируй свою догадку в виде математического предложения.

Замечание: после выполнения заданий № 1 - 6 прочти указанную литературу и ответь на вопросы

№7. В чем заключается проблема Гольдбаха?   

№8. Кто из математиков еще работал над этой проблемой?

№9. Проверь, выполняется ли подмеченная закономерность для чисел первой сотни. Составь
таблицу.  А для чисел, больших 100?

 

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Проблема Гольдбаха»

Литература:

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. С.92-93.

2. Тихомиров В.М., Успенский В.А. Лев Генрихович Шнирельман /Рассказы о математике и математиках. Сост. С.М. Львовский. – М.: МЦНМО, 2000. С.114.

Тема 4. Совершенные числа

 

Древнегреческий учёный Пифагор (6 век до н.э.) с помощью чисел изображал понятие
«совершенство». Число называлось совершенным, если сумма делителей этого числа (отличного от самого числа) равна самому числу. Например,
число 6 – совершенно, так как сумма его делителей 1, 2, и 3 равна 6: 1+2+3 =6.

Уже во времена Пифагора были найдены
такие совершенные числа, как 6, 28, 496.  

Задания:

№1.  Проверь совершенность чисел 28 и 496.

№2.  О каком правиле поиска четного совершенного числа говорится в книге [2]?

№3. Как часто встречаются совершенные числа?

№4. Какие проблемы совершенных чисел до сих пор не решены [5]?

 

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Совершенные числа»

Литература:

1. В арпаховский А.С.  Тайны совершенных и дружественных чисел // Квант, 1973.- №10. С. 71-74.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. С.89-90.

3. Депман И.Я. Совершенные числа //Квант, 1971. №8. С. 1-6.

4. Жуков А. Узы дружбы в мире чисел // Квант, 1996. № 6. С. 32-33.

5. Оре О. Приглашение в теорию чисел: Пер. с анг. Л.А. Савиной и А.П. Савина. –М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. лит-ры, 1980. (Б-чка «Квант». Вып. 3).
С.42-44.

 

Тема 5. Приветливые, дружественные
и общительные числа

В мире чисел существует множество всевозможных отношений. Ряд любопытных отношений связан с собственными делителями натуральных чисел. Напомним, что к собственным делителям натурального числа относятся лишь те делители, которые отличны от него самого.

Число a называется приветливым к числу b, если сумма собственных делителей a равна числу b. Например, число 16 приветливо к числу 15, так как 1+2+4+8=15, а 15 уже не приветливо к 16,
потому что 1+3+5=9 ¹ 16.

Два натуральных числа a и b называются дружественными, если a приветливо к b  и b приветливо к а. Например, числа 220 и 284 дружественные.

Если в схеме приветливости обнаруживается «хоровод», в котором кружатся более чем два
приветливых числа, то такие числа называются  общительными. Например, хоровод из пяти общительных чисел приведен ниже:

12496

              14264             14288

                   14536     15472  

 

Рис. 1.

Обо всех этих удивительных числах ты
можешь прочитать в статье [1].

Задания:

№1. Найти приветливые числа в первой сотне
чисел. Составь схему приветливости чисел,
используя стрелки.

№2. Проверь дружественность чисел 220 и 284.

Замечание:

Эта пара дружественных чисел оставалась единственной известной до тех пор, пока французский математик Пьер Ферма не нашел еще одну пару 17296 и 18416 [2].

№ 3. Проверь общительность чисел, приведенных на рис. 1.

№4. Арабский математик Сабит ибн Курра (836-901) придумал такой способ получения дружественных чисел: если числа p, q, r – простые нечетные числа вида  p = 3× 2^k – 1, r = 9×2^2k-1 – 1, то числа m =2^kpq  и n= 2^kr - дружественные [1].

Примени его метод к проверке дружественности чисел 220 и 284; 17296 и 18416; 9363584 и 9437056. Для разложения чисел можешь использовать калькулятор и таблицу простых чисел.

№5. Удивительные числовые «раскопки» провел в 1747- 1750 году Леонард Эйлер. Придумав
несколько оригинальных методов, он подарил изумленным современникам сразу 61 пару дружественных чисел, причем среди найденных им
чисел оказались и нечетные, например, 69615 и 11498355; 87633 и 12024045 [1]. Проверь дружественность этих чисел.

№6. В 1866 году 16-летний итальянец Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающиеся математики, проглядели! [1]. Проверь эту пару.

№7. По статье [1] познакомься с хороводом из 28 общительных чисел. Запиши его в свою числовую коллекцию.

№8. Оказывается дружественных чисел не так уж много. Сколько их среди чисел в пределах 100 000 ты узнаешь из статьи [1]. В книге [2] приведена таблица пар дружественных чисел до 100 000.

№9. Какие интересные математические загадки связаны с дружественными числами? Перечисли их [1; 2].

№10. В книге [2] описан способ поиска пар дружественных чисел с помощью ЭВМ. В чем состоит этот способ?

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Приветливые, дружественные и общительные числа».

Литература:

1. Жуков А. Узы дружбы в мире чисел // Квант, 1996. № 6. С. 32-33.

2. Оре О. Приглашение в теорию чисел: Пер. с анг. –М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. лит-ры, 1980. (Б-чка «Квант». Вып. 3).С.44 - 46.