Тема 1. Простые  и составные числа

 

Простыми числами называются натуральные числа, которые имеют только два делителя:
единицу и само число.

Например, 2, 3, 5, 11, 41- простые числа. Среди простых чисел только одно четное - 2, все
остальные нечетные.

Составными числами называются натуральные числа, которые имеют больше двух делителей.

Например, 4, 6, 9, 12, 15 – составные числа
Почему? Сколько делителей имеет каждое из них?

Замечание: число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Сколько всего существует простых чисел? Ответ на этот вопрос был дан древнегреческим математиком Евклидом в IX книге «Начала»: ряд простых чисел бесконечен.

Задания:

№1. Выпиши простые числа первой сотни.     Сколько их в первом десятке? Всего?

№2. Может ли сумма простого и составного числа быть простым числом? Приведи примеры. Сделай вывод.

№3. Может ли сумма двух последовательных
натуральных чисел быть простым числом? Приведи  несколько примеров и контпримеров. Сделай выводы. Попробуй провести свои рассуждения в общем виде так:

Пусть n и  n+1 – два последовательных натуральных числа.

Тогда их сумма будет равна  n +  n +1 =

При  n = ____ получим __________ число, при  n = ____ получим ______________ число.

№4. Может ли сумма трех последовательных
натуральных чисел быть простым числом?
Попробуй провести свои рассуждения в общем виде. Сделай выводы.

№5. Разложи число n, где n – составное число и
16 £ n<31 на простые множители. Истинно ли для данного n утверждение, что n представимо в виде произведения не более, чем трех простых множителей? Какое утверждение будет истинным для n?

№6. Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом? Проведи свои рассуждения в общем виде так: Пусть а см – длина стороны квадрата, тогда его площадь равна _______.

Отсюда следует, что ________________________.

Проверь свои выводы на примерах.

№7. Один из городов нашей страны в прошлом
веке отметил юбилей, причем его «возраст»
делится на 25. При этом сумма цифр года основания в два раза меньше суммы цифр года юбилея, а если записи каждой из этих двух дат разделить точкой с запятой, то получится четыре простых двузначных числа. О каком городе идет речь?

№8. Клиент банка забыл четырехзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр - простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф?

№9. Познакомься с  доказательством Евклида о бесконечности простых чисел [4]. Запиши его.

№10.  Выбери еще какие-нибудь доказательства, в которых ты разобрался.

 

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Простые и составные числа».

Литература:

1. Гальперин Г. Просто о простых числах //Квант, 1987.-№4. С. 9-14.

2. Зельцер И.С., Кордемский Б.А. Занятные стайки простых чисел // Математика в школе. 1988. № 6. С. 49-51.

3. Тихомиров В.  Теорема Чебышева о распределении простых чисел // Квант, 1994. №6.С.12-13.

4. Эвнин А. Девятнадцать доказательств теоремы Евклида // Квант, 2001, №1. С.35-38.

5.Утеева Р.А. Дифференцированные задания по математике. 6 класс: Пособие для учителя. –Тольятти, 1996. Задания № 4. С. 18-21.

Тема 2. Простые числа «близнецы»

 

Два простых числа называются «близнецами», если между ними есть только одно четное число. Например, числа-близнецы 3 и 5; 5 и 7;
11 и 13; 17 и 19; 29 и 31.

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но не известно, конечно или бесконечно множество пар близнецов. В книге [3] приводится пример самой большой пары близнецов, известной сейчас. Это два простых числа 1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Задания:

№1. Составь таблицу простых чисел-близнецов первой тысячи. Можно использовать таблицу простых чисел и калькулятор.

№2.  Первые две пары близнецов (3 и 5) и (5 и 7) имеют общий элемент 5. «Расстояние» между второй (5 и 7) и третьей (11 и 13) парами близнецов равно 11-4 =4. Расстояние между третьей и четвертой (17 и 19) равно 17-13 =4. Расстояние между четвертой и пятой парой (29 и 31) равно 29-19 =10. Докажи, что далее расстояние между соседними парами близнецов никогда не будет меньше четырех [1].

№3. Докажи, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6. Проверь это утверждение на примерах. Попробуй провести рассуждения в общем виде.

№4.  Наблюдения над простыми числами показывают, что между квадратами простых чисел всегда имеются близнецы. Например, между числами

2² = 4 и 3² = 9 есть близнецы 5 и 7; между числами 3² =9 и 5⁵=25 есть близнецы - два простых числа 11 и 13.Это порождает гипотезу близнецов (предположение), что между квадратами простых чисел всегда найдутся близнецы. Эта гипотеза пока не доказана (может быть она и не верна!).

Проверь ее для простых чисел первой тысячи. Сделай выводы.

 

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Простые числа -близнецы».

 

Литература:

1. Колмогоров А.Н. Решето Эратосфена //Квант, 1974. № 1. С. 77.

2. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия /Сост. Г.А. Гальперин. – М.: Наука, 1988
(Б-чка «Квант». Вып. 64). С. 220-221.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учрежд.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 1999. С. 103-104.