Приложения криволинейных интегралов.

1. Если L: ,  – кусочно-гладкая кривая в R³, то ее длина s может быть найдена по формуле  а, если кривая в R², то .

2.Пусть L – материальная плоская кривая с линейной плотностью или пространственная кривая с линейной плотностью . Тогда для нахождения массы кривой можно использовать криволинейный интеграл первого рода m = .

3. Пусть в каждой точке области G пространства R³ задана вектор-функция . Тогда говорят, что задано силовое поле .

Криволинейный интеграл второго рода используют для нахождения работы A силового поля  при перемещении вдоль кривой Г_AB:   A=

4. Если в формуле Грина положить Q=x, P=0 и учесть, что  равен площади S области G, то получим выражение площади плоской фигуры через криволинейный интеграл:

 

S= . Если взять в качестве Q=0, P=-y, выражение для S примет вид S= .

Для вычисления площади используют также формулу

S= .

 

Задача 16. 1. Найти длину дуги плоской кривой y=ln cos x, .

Решение. Запишем параметрические уравнения кривой в виде: x=x, y=ln cos x, . Тогда = = = = = .

Задача 16. 2. Найти длину дуги пространственной кривой .

Решение.   Для применения формулы вычисления длины кривой необходимо вычислить производные . Далее подставляя в формулу  получим s= .

Задача 16. 3. Найти массу, распределенную с линейной плотностью по дуге плоской кривой Г_AB: y=x²/2, A(1; 1,5) B(2; 2); =y/x.

Решение. Здесь мы должны воспользоваться формулой 

m = . Вспомнив, что дифференциал дуги вычисляется по формуле ds= , а переменная x меняется от 1 до 2, окончательно получим m =  = .

Задача 16. 4. Найти массу, распределенную с линейной плотностью по дуге пространственной кривой Г: x=at, y=at²/2, z= at³/3; ; .

Решение. Массу кривой будем находить по формуле m= == = = .

Задача 16. 5. Найти площадь области, ограниченной плоской кривой y²= 4- x, x=4, y=1.

Решение. Область, площадь которой нужно найти, представляет собой криволинейный треугольник ABC, где A(), B(4; 1)C(4;0). Граница области образована AC: y²= 4- x,   CB: x=4, , BA: y=1, . Для вычисления площади будем использовать формулу S= = = 1/3.

Рассмотрим, например, как вычисляется интеграл I= . На CB x= 4, поэтому dx=0, а y меняется от 0 до 1. Поэтому I= = =4.

Задача 16. 6. Найти работу поля  = {z, -x, y} вдоль кривой AB, если AB – виток винтовой линии x=acos t; y= bsin t; z=ct; ; A(a;0;0), B(a;0;2 ).

Решение. Запишем формулу вычисления работы A= , где ={P;Q;R}. В данном примере , дифференциалы . Подставим в интеграл = = = = = = = +0= = .

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Область G на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G.

Если функции P и Q непрерывны в односвязной области G. Тогда криволинейный интеграл  не зависит от пути интегрирования Г_AB (Г_AB – кривая, лежащая в области, точка A – ее начало, точка B - конец) тогда и только тогда, когда выражение  является полным дифференциалом некоторой функции u=u(x, y), т.е. в области G выполняется условие du= Pdx+Qdy, или =P, = Q. При этом для любой кривой Г_AB, лежащей в области, имеет место равенство = u(B) – u(A).

Пусть функции P, Q, ,  непрерывны в односвязной области G. Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в G выполнялось условие = .

Задача 16. 7. Найти работу поля  = {y, x} от точки A(1;0) до точки B(-4;3).

Решение. Поскольку в интеграле  выражение  является полным дифференциалом (действительно = =1), то значение интеграла не зависит от пути интегрирования Г_AB. Поэтому в качестве Г_AB мы можем выбрать ломаную AMB, где точка M(1; 3). Тогда AM={x=1, }, BM=={y=3, }. Интеграл = = = =-12.

Задача 16. 8. Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить криволинейный интеграл , где A(-2;-1), B(3;0).

Решение.  Нужно проверить выполнение условия = . Затем выбрать удобный путь интегрирования и вычислить криволинейный интеграл:    I= 62.

Задания для самостоятельной работы:

Задача 16. 9. Найти длину дуги плоской кривой ay²= x³, . Ответ: 335a/27.

Задача 16.10. Найти длину дуги пространственной кривой , .                     Ответ: 5.

Задача 16. 11. Найти массу, распределенную с линейной плотностью по дуге пространственной кривой Г: x=tcost, y=tsint, z= t; ; .

Ответ: .

Задача 16. 12. Найти площадь области, ограниченной кривыми  

y= 1- x², x – y – 1 =0. Ответ: 9/2.

Задача 16. 13. Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить криволинейный интеграл , где A(3;0), B(0;-3).

Ответ: 0.

Задача 16. 14. Найти работу поля  = вдоль дуги AB кривой Г, где A(1;0), B(0;1), если:

1) Г – ломаная APB, где P(1;1);

2) Г- четверть окружности ;

3) Г- четверть астроиды .

Ответ: 1), 2),3)