Занятие. Криволинейный интеграл первого рода. Его свойства и вычисление. Формула Грина

Пусть плоская спрямляемая кривая С задана уравнениями

x =x(s), y =y(s), , где s – длина дуги этой кривой от некоторой ее точки M₀ до точки M(x, y). Значение s=0 соответствует начальной точке M₀. На кривой задана непрерывная функция f.

Число называют криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой C. Обозначают такой интеграл . Криволинейные интегралы первого типа обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла Римана: линейность, аддитивность.

Если на плоскости xy кривая С задана уравнениями x= , y= , , где функции , - непрерывны на и имеют непрерывные производные , , не обращающиеся в нуль одновременно. Тогда справедлива формула вычисления криволинейного интеграла первого рода

= (1.16)

Сделаем несколько замечаний.

1. Если кривая С задана уравнением y=y(x), , и функция y(x) имеет непрерывную производную на [a,b], то справедлива следующая формула вычисления криволинейного интеграла первого рода

= . (2.16)

2. Если кривая С задана в полярных координатах уравнением , и функция имеет непрерывную производную на , то криволинейный интеграл первого рода может быть вычислен по формуле

= . (3.16)

3. Для гладкой пространственной кривой С, заданной уравнениями x= , y= , z= , справедлива формула = (4.16)

Задача 15.1. Вычислить криволинейный интеграл: , где С - четверть эллипса ,лежащая в первом квадранте.

Решение. Как можно получить параметрические уравнения эллипса? Изменим немного формулы перехода к полярным координатам и подставим эти выражения в уравнение эллипса. Получим . С учетом условия задачи про четверть эллипса, лежащую в первом квадранте параметрические уравнения эллипса запишем в виде: x=acos t, y=bsin t, .

Найдем производные x^’= - a sin t, y^’= bcos t. Подставим найденные значения в формулу (1.16).

= = = = = = = = = .

Задача 15.2. Вычислить криволинейный интеграл: , где кривая С – астроида .

Решение. Чтобы получить параметрические уравнения астроиды, следует воспользоваться обобщенными полярными координатами: , где специальным образом подобранные постоянные. В данном случае . Подставим эти выражения в уравнение астроиды, получим . Окончательно, параметрические уравнения астроиды . После всех вычислений получим = .

Задача 15.3. Вычислить криволинейный интеграл: , где кривая С – граница прямоугольника (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2).

Ответ. 24

Задача 15.4. Вычислить криволинейный интеграл: , где кривая С – правый лепесток лемнискаты, заданной в полярных координатах уравнением .

Ответ..

Криволинейный интеграл второго рода. Кривая AB задана уравнениями x= , y= , . Здесь A=A(, ) B= B(, ). Функции P=P(x, y) и Q=Q(x, y) определены и непрерывны на кривой AB. Пусть - единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x, y), - угол, между вектором в точке M(x, y) и осью Ox. Тогда криволинейный интеграл второго рода = .

Если AB – гладкая кривая, то вычислить криволинейный интеграл второго рода можно по формуле = = . (5.16)

Если кривая С задана уравнением y=y(x), , и функция y(x) имеет непрерывную производную на [a,b], то справедлива следующая формула вычисления криволинейного интеграла второго рода

= . (6.16)

Если C - гладкая кривая в R³, заданная уравнениями x= , y= , z= , , то =

Задача 15.5. Вычислить криволинейный интеграл: , где кривая AB – кривая, соединяющая точки A(0; 0), B(1; 1) с уравнением y= x².

Решение. Кривая задана уравнениемy= x² и производная y^’=2x. По формуле (6.16) получим

= = .

Задача 15.6. Вычислить криволинейный интеграл по отрезку AB, A(3; -4), B(1; 2): .

Решение. Уравнение прямой AB имеет вид . Отсюда y= -3x +5. По формуле (6.16) получим

= =8.

Задача 15.7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой Г: .

Решение. Для применения формулы (5.16) вычислим производные переменных x, y, z по t.

Получим .

= = =

= = = =0.

Задача 15.8. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой от точки A к точке B: Г – полуокружность x²+y²=a², , A(0;-a), B(0;a).

Решение. Здесь можно, выразив переменную y как функцию от x, вычислить интеграл,

используя формулу (6.16). Однако удобнее перейти к полярным координатам и получить параметрические уравнения кривой. Подставим в уравнение окружности. Таким образом, нас интересуют те и только те точки плоскости, у которых . Значит, параметрические уравнения окружности имеют вид . Параметр изменяется от (точка A) до (точка B). Далее следует вычисление интеграла по формуле (5.16):

= .

Формула Грина. Пусть граница Г плоской ограниченной области G состоит из конечного набора кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P, Q, , непрерывны на , то справедлива формула Грина = , где контур Г ориентирован так, что при его обходе область G остается слева.