Пусть плоская спрямляемая кривая С задана уравнениями
x =x(s), y =y(s), 
, где s – длина дуги этой кривой от некоторой ее точки M0 до точки M(x, y). Значение s=0 соответствует начальной точке M0. На кривой задана непрерывная функция f.
Число 
называют криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой C. Обозначают такой интеграл 
. Криволинейные интегралы первого типа обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла Римана: линейность, аддитивность.
Если на плоскости xy кривая С задана уравнениями x= 
, y= 
, 
, где функции , 
- непрерывны на 
и имеют непрерывные производные 
, 
, не обращающиеся в нуль одновременно. Тогда справедлива формула вычисления криволинейного интеграла первого рода
= 
(1.16)
Сделаем несколько замечаний.
1. Если кривая С задана уравнением y=y(x), 
, и функция y(x) имеет непрерывную производную на [a,b], то справедлива следующая формула вычисления криволинейного интеграла первого рода
= 
. (2.16)
2. Если кривая С задана в полярных координатах уравнением 
, и функция 
имеет непрерывную производную на 
, то криволинейный интеграл первого рода может быть вычислен по формуле
= 
. (3.16)
3. Для гладкой пространственной кривой С, заданной уравнениями x= 
, y= , z= 
, справедлива формула 
= 
(4.16)
Задача 15.1. Вычислить криволинейный интеграл: 
, где С - четверть эллипса 
,лежащая в первом квадранте.
Решение. Как можно получить параметрические уравнения эллипса? Изменим немного формулы перехода к полярным координатам 
и подставим эти выражения в уравнение эллипса. Получим 
. С учетом условия задачи про четверть эллипса, лежащую в первом квадранте параметрические уравнения эллипса запишем в виде: x=acos t, y=bsin t, 
.
Найдем производные x’= - a sin t, y’= bcos t. Подставим найденные значения в формулу (1.16).
= 
= = 
= = 
= = 
= = 
.
Задача 15.2. Вычислить криволинейный интеграл: 
, где кривая С – астроида 
.
Решение. Чтобы получить параметрические уравнения астроиды, следует воспользоваться обобщенными полярными координатами: 
, где 
специальным образом подобранные постоянные. В данном случае 
. Подставим эти выражения в уравнение астроиды, получим 
. Окончательно, параметрические уравнения астроиды 
. После всех вычислений получим = 
.
Задача 15.3. Вычислить криволинейный интеграл: 
, где кривая С – граница прямоугольника (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2).
Ответ. 24
Задача 15.4. Вычислить криволинейный интеграл: 
, где кривая С – правый лепесток лемнискаты, заданной в полярных координатах уравнением 
.
Ответ..
Криволинейный интеграл второго рода. Кривая AB задана уравнениями x= , y= , . Здесь A=A(
, 
) B= B(
, 
). Функции P=P(x, y) и Q=Q(x, y) определены и непрерывны на кривой AB. Пусть 
- единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x, y), 
- угол, между вектором 
в точке M(x, y) и осью Ox. Тогда криволинейный интеграл второго рода 
= 
.
Если AB – гладкая кривая, то вычислить криволинейный интеграл второго рода можно по формуле = = 
. (5.16)
Если кривая С задана уравнением y=y(x), , и функция y(x) имеет непрерывную производную на [a,b], то справедлива следующая формула вычисления криволинейного интеграла второго рода
= 
. (6.16)
Если C - гладкая кривая в R3, заданная уравнениями x= , y= , z= 
, , то 
= 
Задача 15.5. Вычислить криволинейный интеграл: 
, где кривая AB – кривая, соединяющая точки A(0; 0), B(1; 1) с уравнением y= x2.
Решение. Кривая задана уравнениемy= x2 и производная y’=2x. По формуле (6.16) получим
= 
= 
.
Задача 15.6. Вычислить криволинейный интеграл по отрезку AB, A(3; -4), B(1; 2): 
.
Решение. Уравнение прямой AB имеет вид 
. Отсюда y= -3x +5. По формуле (6.16) получим
= 
=8.
Задача 15.7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
по пространственной кривой Г: 
.
Решение. Для применения формулы (5.16) вычислим производные переменных x, y, z по t.
Получим 
.
= = 
=
= 
= 
= 
=0.
Задача 15.8. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
по кривой Г, пробегаемой от точки A к точке B: Г – полуокружность x2+y2=a2, 
, A(0;-a), B(0;a).
Решение. Здесь можно, выразив переменную y как функцию от x, вычислить интеграл,
используя формулу (6.16). Однако удобнее перейти к полярным координатам и получить параметрические уравнения кривой. Подставим 
в уравнение окружности. Таким образом, нас интересуют те и только те точки плоскости, у которых 
. Значит, параметрические уравнения окружности имеют вид 
. Параметр 
изменяется от 
(точка A) до 
(точка B). Далее следует вычисление интеграла по формуле (5.16):
= 
.
Формула Грина. Пусть граница Г плоской ограниченной области G состоит из конечного набора кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P, Q, 
, 
непрерывны на 
, то справедлива формула Грина 
= 
, где контур Г ориентирован так, что при его обходе область G остается слева.
Задача 15.9. Вычислить криволинейные интегралы 
с помощью формулы Грина
1) 
, где Г - окружность 
;
2) 
, где Г - эллипс 
.
Решение. По формуле Грина = 
.
В задании 1) функции P= -x2, Q = xy2. Отсюда 
, 
.
= 
. Далее, имеет смысл перейти к полярной системе координат и записать в виде = 
= 
.
Задания для самостоятельной работы:
Задача 15.10. Вычислить криволинейный интеграл: , где С – граница квадрата с вершинами (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1). Ответ: 0
