Вычислите интегралы с параметром
Задача 9.3. 
.
Решение. Отдельно рассмотрим случаи а) 
и б) 
.
а) При интеграл имеет вид: 
.
б) 
.
Ответ: 
Задача 9.4. 
.
Решение. Интеграл является несобственным и сходящимся при 
.
Ответ: 
при 
.
Задача 9.5. 
Решение. 
Ответ: 
при 
.
Задания для самостоятельной работы:
Задача 9.6. Найти 
, если 
.
Занятие 10. Нахождение множества сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Задача 10.1. При каких 
интеграл 
сходится?
Решение. Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и является неотрицательной. Сравним наш интеграл с интегралом
, который сходится при 
. Так как при 
отношение функции 
и 
стремится к 
, приходим к выводу: наш интеграл сходится про 
.
Ответ: 
сходится при .
Задача 10.2. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Так как интеграл имеет две особенности, разобьем его на два интеграла.
1) 
Если 
, то интеграл расходится, так как подынтегральная функция положительная и бесконечно большая при 
. Если 
, то сходимость интеграла можно доказать, сравнивая его с интегралом вида: 
, который сходится при 
.
.
2) 
. В зависимости от значения 
интеграл может быть оказаться обычным интегралом Римана или несобственным.
Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и неотрицательна. Определим функцию эквивалентную ей в нуле.
~ 
~ 
.
Интеграл сходится при 
Множество сходимости интеграла 
определяется как пересечение промежутков сходимости интегралов 1) и 2).
Ответ: сходится при 
.
Задания для самостоятельной работы:
Определите множество сходимости интегралов.
Задача 10.3. 
.
Задача 10.4. 
.
Исследование несобственных интегралов на равномерную сходимость по параметру.
Интеграл вида 
равномерно сходится по параметру на множестве Y 
неравенство 
выполнено для 
.
Задача 10.5. Доказать, что интеграл 
является равномерно сходящимся при 
.
Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса:
Интеграл 
сходится равномерно на множестве Х если:
и 
является сходящимся.
сходится, так как 
при 
Интеграл является равномерно сходящимся по признаку Вейерштрасса.
Задача 10.6. Самостоятельно докажите равномерную сходимость интеграла 
при 
.
Задача 10.7. Вычислить 
- предельную функцию интеграла 
.
Решение. Несложно доказать по признаку Вейерштрасса, что интеграл является равномерно сходящимся по параметру.
Найдем производную предельной функции, продифференцировав подынтегральную по . 
. Вычислим полученный интеграл методом разложения на простые дроби.
.
. Константа 
может быть определена из условия: 
Ответ: 
.
Задача 10.8. Самостоятельно вычислите предельную функцию интеграла 
методом интегрирования по параметру.
Указание: 
.
