Вычисление предельной функции.

Вычислите интегралы с параметром

Задача 9.3. .

Решение. Отдельно рассмотрим случаи а)  и б) .

а) При  интеграл имеет вид: .

 

б)

.  

                Ответ:

 

Задача 9.4. . 

Решение. Интеграл является несобственным и сходящимся при .

Ответ:  при .

Задача 9.5.

 

Решение.

 

 

Ответ:  при .

Задания для самостоятельной работы:

Задача 9.6. Найти , если .

Занятие 10. Нахождение множества сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Задача 10.1. При каких  интеграл  сходится?

Решение. Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и является неотрицательной. Сравним наш интеграл с интегралом 

, который сходится при . Так как при  отношение функции  и  стремится к , приходим к выводу: наш интеграл сходится про .

Ответ:   сходится при .

Задача 10.2. Исследовать на сходимость .

Решение. Так как интеграл имеет две особенности, разобьем его на два интеграла.

 1)  Если , то интеграл расходится, так как подынтегральная функция положительная и бесконечно большая при . Если , то сходимость интеграла можно доказать, сравнивая его с интегралом вида: , который сходится при .

.

2)  . В зависимости от значения  интеграл может быть оказаться обычным интегралом Римана  или несобственным.

Подынтегральная функция имеет особенность в нуле и неотрицательна. Определим функцию эквивалентную ей в нуле.

                  ~  ~ .

Интеграл сходится при

 

Множество сходимости интеграла  определяется как пересечение промежутков сходимости интегралов 1) и 2).

Ответ:   сходится при .

 

Задания для самостоятельной работы:

Определите множество сходимости интегралов.

Задача 10.3. .

Задача 10.4. .

Исследование несобственных интегралов на равномерную сходимость по параметру.

 

Интеграл вида  равномерно сходится по параметру  на множестве Y  неравенство  выполнено для .

Задача 10.5. Доказать, что интеграл  является равномерно сходящимся при .

Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса:

Интеграл  сходится равномерно на множестве Х если:

 и  является сходящимся.

 сходится, так как  при

Интеграл является равномерно сходящимся по признаку Вейерштрасса.

Задача 10.6. Самостоятельно докажите равномерную сходимость интеграла при .

Задача 10.7. Вычислить  - предельную функцию интеграла .

Решение. Несложно доказать по признаку Вейерштрасса, что интеграл является равномерно сходящимся по параметру.

Найдем производную предельной функции, продифференцировав подынтегральную по . . Вычислим полученный интеграл методом разложения на простые дроби.

.

. Константа  может быть определена из условия:

Ответ: .

Задача 10.8. Самостоятельно вычислите предельную функцию интеграла  методом интегрирования по параметру.

Указание: .