Занятие 5. Степенные ряды. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Степенной ряд  - это функциональный ряд вида: , где - это числовая последовательность, называемая общим членом степенного ряда,  центр степенного ряда. Интервал сходимости степенного ряда имеет вид , где - радиус сходимости, значение которого может быть вычислено по формуле Коши-Адамара.  или .

Задача 5.1. Найти множество сходимости степенного ряда .

Решение. , . Находим радиус сходимости:   Интервал сходимости имеет вид . Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала. При   имеем числовой ряд  - знакочередующийся, сходится по признаку Лейбница. При  ряд имеет вид  расходящийся гармонический ряд .  

Множеством сходимости степенного ряда является промежуток .

Задача 5.2. Разложить в степенной ряд функцию  в окрестности точки 0.

Решение. Воспользуемся методом почленного интегрирования степенного ряда: . При разложении подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: .

Проинтегрируем почленно полученный степенной ряд.

.

Полученный степенной ряд сходится на отрезке .

Задача 5.3. Разложить в степенной ряд функцию в окрестности точки -2.

Решение. Воспользуемся методом почленного дифференцирования ряда: . а) Разложим в степенной ряд функцию   и б) полученный ряд продифференцируем.

а) .

 

б) . 

 

Задача 5.4.  Найдите сумму степенного ряда .

Решение. Ряд сходится при . Для нахождения его суммы проинтегрируем степенной ряд:

.

 

Задача 5.5. Найдите сумму ряда . 

Решение. Ряд сходится при . Продифференцируем степенной ряд.

  

.

 

Задача 5.6. Найдите сумму числового ряда.

 

Решение. Данный числовой ряд является значением степенного ряда  при .

.

При  значение предельной функции равно .

 

Задания для самостоятельной работы:

Разложите функцию в степенной ряд в окрестности указанной точки.

Задача 5.7.

Задача 5.8.

Задача 5.9.

 

Суммировать степенные ряды и найти множество сходимости:

 

Задача 5.10.

Задача 5.11.

Задача 5.12.

 

Занятие 6. Ряд Тейлора

Бесконечно дифференцируемая в некоторой окрестности точки  функция представляется степенным рядом Тейлора вида . Если , то ряд называется рядом Маклорена.

 

Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена.

1. Показательная функция: 

                                      .

2. Тригонометрические функции:

                                       .

                                      .

3. Степенная функция:

 

                                    , где

                                     .

4. Логарифмическая функция:

                                       .

Задача 6.1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся стандартным разложением степенной функции при .

 Задача 6.2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Сделаем замену переменной и воспользуемся разложением Маклорена для показательной функции.

                    .

Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки  .

Задача 6.3.  

Задача 6.4.

Ряды Фурье.