Занятие 1. Предельная функция функциональной последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Введение

Стратегическим направлением модернизации и оптимизации высшего образования является увеличение времени на самостоятельную работу студентов. И это понятно: современные условия диктуют необходимость непрерывного образования, когда от студентов и, в дальнейшем, от выпускников университета требуется постоянное совершенствование знаний. Выпускник должен быть ориентирован на большую инициативу и самостоятельность, должен обладать способностью работать в различных рабочих командах, иметь высокую мотивацию к переобучению.

Одним из основных факторов, обеспечивающих большую эффективность процесса обучения, и позволяющих достигнуть более высокого качества обучения, является сокращение аудиторной нагрузки, замена пассивного слушания лекций возрастанием доли самостоятельной работы студентов. Объем самостоятельной работы студентов определяется ФГОС и учебным планом направления подготовки 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» относится к математическому и естественно-научному циклу. Это обязательный курс для студентов 2 курса, читается в 3 семестре. На изучение дисциплины отводится 144 часа, из которых 36 часов лекционных и 36 часов практических занятий. Остальные часы так или иначе связаны с самостоятельной подготовкой. Объем информации по этой дисциплине (полный набор вопросов приведен в приложении) весьма значителен. Отсюда совершенно естественно следует, что большая часть работы переносится на самостоятельную подготовку.

В предлагаемом учебном пособии приводятся методические материалы по дисциплине «Кратные интегралы и ряды»: для каждой темы приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач, представлены варианты контрольных заданий, приведен список экзаменационных вопросов. Все эти материалы призваны оказать помощь по организации самостоятельной работы, облегчить и оптимизировать внеаудиторную самостоятельную работу.

При подготовке были использованы материалы задачников

Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2, 3.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

 

 

Функциональные последовательности и ряды

Занятие 1. Предельная функция функциональной последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей

 

Функциональной последовательностью  называется последовательность элементами которой являются функции. Если числовая последовательность  сходится, то говорят, что последовательность функций  сходится в точке .

Последовательность , сходящуюся в каждой точке , называют сходящейся на множестве . В этом случае на множестве  определена функция , значение которой в точке  равно пределу последовательности . Эту функцию называют предельной функцией последовательности и пишут , .

 

Найдите предельную функцию функциональной последовательности:

Задача 1.1.  = .

Решение. .

 

Задача 1.2. = .

Решение. При вычислении воспользуемся следствием из второго замечательного предела

.

= .

Задача 1.3. = , .

Решение. Рассмотрим три случая.

Таким образом:

 

Задача 1.4. = .

Решение.

Данный предел может быть вычислен с помощью правила Лопиталя:

 

Задача 1.5. =

Решение.

Рассмотрим три случая:

при

при

при

Окончательно:

 

                

Задача 1.6. = .

Решение.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

 

Задача 1.7. = .

Решение.       

Воспользуемся заменой на эквивалентную бесконечно малую:

 

Задача 1.8. =

Решение.  

Сделаем замену переменной  и воспользуемся правилом Лопиталя:

    .

Задача 1.9. =

Решение. f(x)=  

Воспользуемся разложением   по формуле Тейлора:

  .

                      .

Задача 1.10. =

Решение. f(x)=  

Так как  сделаем замену переменной  и воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

Следовательно .

 

Задания для самостоятельной работы:

 

Задача 1.11.                 

 

Задача 1.12.

 

Задача 1.13.

 

Задача 1.14.

 

 

Задача 1.15.