Три формы представления смешанной модели

 

       Здесь обсудим три вида представления смешанной модели      А RMA (р, q). Указанные формы служат трем различным целям, а знание таких преобразований может привести к лучшему пониманию процесса, описываемого моделью А RMA (р, q). Первая форма этой модели определяется   выражением (2.24), которое при помощи операторов сдвига назад становится равным ф (В) X_t = θ(В) a_t.

Для других представлений используем следующий подход. При двух заданных многочленах вида   можно получить следующие соотношения

                                                 (2.32)  

    Например, если   то имеем

                 .

    Из двух последних равенств получаем, что    Используя тот факт, что Bc =с для любой постоянной (значение постоянной инвариантно во времени), приходим к соотношениям

 

    AR - представление

    С использованием второго из выражений (2.32) модель   А RMA (р, q) может быть записана как 

                                    (2.33)

    Это представление показывает зависимость текущего значения X_t от прошлых величин X_{t – i}. Коэффициенты {π _i } являются π-весами модели А RMA. Поскольку вклад задержанных величин X_{t – i}  в X_t уменьшается с увеличением номера i, весовые коэффициенты π должны спадать до нуля при увеличении i. Модель А RMA (р, q), обладающая таким свойством, является обратимой.

    Для "чистой" AR -модели θ(B) = 1, поэтому π(В) = ф (В). Таким образом, π _i = 0 для i > p, и модель является обратимой. Для других А RMA -моделей достаточное условие обратимости состоит в том, что все нули полинома θ(B) превышают по модулю единицу.

    Например, рассмотрим модель МА (1) вида X_t = (1 + θ₁ B) a_t. Нуль полинома первого порядка 1 + θ₁ B равен В = - 1/ θ₁. Вследствие этого модель МА (1)  является обратимой, если , что эквивалентно неравенству

       Из AR -представления в уравнении (2.33) следует, что обратимая А RMA -модель определяет ряд X_t как линейную комбинацию текущего значения помехи и взвешенного среднего прошлых значений ряда. Веса спадают экспоненциально для более удаленных прошлых значений.  

        

    МА -представление

    Модель А RMA (р, q) с использованием первого из выражений (2.32) может быть записана в виде

                                          (2.34)

где среднее значение μ = E (X_t) = ф ₀ / (1 – ф ₁ - …- ф _p).

    Это представление ясно показывает воздействие прошлых значений помехи a_{t - i}   (i > 0) на текущее значение X_t. Коэффициенты ψ _i  определяют функцию импульсного отклика модели А RMA (р, q). Для слабо стационарных рядов коэффициенты ψ _i  экспоненциально спадают при увеличении i. Это очевидно, так как влияние помехи a_{t - i}    на переменную X_t  должно уменьшаться со временем. Таким образом, для стационарной модели А RMA помеха a_{t - i}   не оказывает постоянного воздействия на ряд. Если ф ₀ ≠ 0, тогда МА -представление имеет постоянный член, равный среднему значению X_t,  т.е. ф ₀ / (1 – ф ₁ - …- ф _p).

    Отметим следующие свойства модели А RMA.

1. Если процесс имеет постоянное математическое ожидание μ, то он описывается моделью А RMA (р, q) вида

.

2. При E (X_t) = μ процесс стационарен, если все корни уравнения (z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1.

3. Для стационарного процесса А RMA (р, q) существует эквивалентный ему процесс МА (∞) вида 

  Последнее выражение можно записать как   

           где

4. Если все корни уравнения θ(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1 (условие обратимости), то существует эквивалентное представление процесса X_t в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR (∞)

которое можно записать в виде   

       где

    Из приведенных соотношений следует, что стационарный процесс А RMA (р, q) всегда можно аппроксимировать процессом СС достаточно высокого порядка, а при выполнении условия обратимости - процессом АР высокого порядка.