Три формы представления смешанной модели
Лекции.Орг

Поиск:


Три формы представления смешанной модели

 

       Здесь обсудим три вида представления смешанной модели     А RMA (р, q). Указанные формы служат трем различным целям, а знание таких преобразований может привести к лучшему пониманию процесса, описываемого моделью А RMA (р, q). Первая форма этой модели определяется   выражением (2.24), которое при помощи операторов сдвига назад становится равным ф(В) Xt = θ(В) at.

Для других представлений используем следующий подход. При двух заданных многочленах вида   можно получить следующие соотношения

                                                 (2.32)  

    Например, если   то имеем

                 .

    Из двух последних равенств получаем, что    Используя тот факт, что Bc =с для любой постоянной (значение постоянной инвариантно во времени), приходим к соотношениям

 

    AR - представление

    С использованием второго из выражений (2.32) модель  А RMA (р, q) может быть записана как 

                                    (2.33)

    Это представление показывает зависимость текущего значения Xt от прошлых величин Xt i. Коэффициенты {πi} являются π-весами модели А RMA. Поскольку вклад задержанных величин Xt i  в Xt уменьшается с увеличением номера i, весовые коэффициенты π должны спадать до нуля при увеличении i . Модель А RMA (р, q), обладающая таким свойством, является обратимой.

    Для "чистой" AR-модели θ(B) = 1, поэтому π(В) = ф(В). Таким образом, πi = 0 для i > p , и модель является обратимой. Для других А RMA-моделей достаточное условие обратимости состоит в том, что все нули полинома θ(B) превышают по модулю единицу.

    Например, рассмотрим модель МА(1) вида Xt = (1 + θ1B) at. Нуль полинома первого порядка 1 + θ1B равен В = - 1/ θ1. Вследствие этого модель МА(1)  является обратимой, если , что эквивалентно неравенству

       Из AR-представления в уравнении (2.33) следует, что обратимая А RMA-модель определяет ряд Xt как линейную комбинацию текущего значения помехи и взвешенного среднего прошлых значений ряда. Веса спадают экспоненциально для более удаленных прошлых значений.  

        

    МА-представление

    Модель А RMA (р, q) с использованием первого из выражений (2.32) может быть записана в виде

                                          (2.34)

где среднее значение μ = E ( Xt ) = ф 0 / (1 – ф 1 - …- ф p).

    Это представление ясно показывает воздействие прошлых значений помехи at - i   (i > 0) на текущее значение Xt. Коэффициенты ψi  определяют функцию импульсного отклика модели А RMA (р, q). Для слабо стационарных рядов коэффициенты ψi  экспоненциально спадают при увеличении i . Это очевидно, так как влияние помехи at - i    на переменную Xt  должно уменьшаться со временем. Таким образом, для стационарной модели А RMA помеха at - i   не оказывает постоянного воздействия на ряд. Если ф 0 ≠ 0, тогда МА-представление имеет постоянный член, равный среднему значению Xt ,  т.е. ф 0 / (1 – ф 1 - …- ф p).

    Отметим следующие свойства модели А RMA.

1. Если процесс имеет постоянное математическое ожидание μ, то он описывается моделью А RMA (р, q) вида

.

2. При E(Xt) = μ процесс стационарен, если все корни уравнения (z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1.

3. Для стационарного процесса А RMA (р, q) существует эквивалентный ему процесс МА(∞) вида 

  Последнее выражение можно записать как   

           где

4. Если все корни уравнения θ(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1 (условие обратимости), то существует эквивалентное представление процесса Xt в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)

которое можно записать в виде   

       где

    Из приведенных соотношений следует, что стационарный процесс А RMA (р, q) всегда можно аппроксимировать процессом СС достаточно высокого порядка, а при выполнении условия обратимости - процессом АР высокого порядка. 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Модель скользящего среднего | Подгонка моделей стационарных временных рядов

Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 90 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.