Стационарные стохастические процессы

В этом параграфе рассматриваются некоторые вопросы, которые играют важную роль при анализе и прогнозе ВР. В ситуации, когда будущие значения ряда точно определяются по его прошлым характеристикам, ряд считается детерминированным. Однако в действительности большинство рядов являются стохастическими или случайными, поэтому будущие характеристики ряда только частично определяются его прошлыми значениями. 

Стохастический процесс представляет собой семейство случайных переменных вида X (ω, t), где индекс ω определяет выборочное пространство, а t  - индекс временной оси. Для фиксированного значения t     величина X (ω, t) является случайной переменной. Для фиксированного ω - величина X (ω, t) как функция t формирует выборочную функцию или реализацию. Набор из всех возможных реализаций называется ансамблем стохастических процессов. Таким образом, ВР есть реализация или выборочная функция из конкретного стохастического процесса. 

Ключевая роль при анализе ВР отводится  процессам, чьи свойства или хотя бы часть из них не меняются со временем. При выполнении прогноза необходимо учитывать правомерность такого допущения. При экстраполяции детерминированной функции обычно предполагается, что или сама функция, или одна из ее производных являются постоянными. Допущение неизменности первой производной приводит к линейной экстраполяции как методу прогнозирования. При анализе ВР наша цель сводится к прогнозированию ряда, который  обычно не является детерминированным, но содержит случайную составляющую. Если эта составляющая является стационарной, тогда появляется возможность разработать метод прогнозирования ее будущих значений [21].

      Учитывая, что  стохастический процесс X (ω, t) есть множество случайных переменных с индексом t, определенных на выборочном пространстве, можно пренебречь переменной ω и обозначать X (ω, t) как X (t) или X_t. Процесс называется вещественным, если в нем допускаются только действительные числа. В дальнейшем, если не оговорено другое, в книге рассматриваются преимущественно вещественные процессы. 

Стационарность является основой анализа ВР. Принято считать, что строгая стационарность ВР { X_t, t = 0, ±1, ±2,…} определяется условием, при котором совместное распределение (Х ₁ ,..., Х _n) является идентичным распределению величин (Х_{1+ h}, ..., Х _{n + h}) для всех целых h  и n > 0. Другими словами, строгая стационарность требует, чтобы совместное распределение     (Х ₁ ,..., Х _n) являлось инвариантным при временном сдвиге. Это является очень строгим условием, которое трудно проверить эмпирически.

Часто допускается более слабая версия стационарности. ВР { Х _t } является слабо стационарным, если среднее значение и ковариация между Х _t и Х _{t - l} (l - произвольное целое) являются инвариантными во времени. Конкретно данное  понятие можно пояснить следующим образом. 

Определим среднее значение, дисперсию и автоковариационную функцию как

1. μ _X (t) = Е (X_t).

2. Var (X_t) = E [ X_t - μ _X (t)]².

3. γ _X(r,s) = Cov (X_r, X_s) = E [(X_r - μ _X (r)) (X_s - μ _X (s))] 

для всех целых r  и s.    

Ряд { Х _t } является слабо стационарным, если

а) μ _X (t) не зависит от t.

b)  γ _X (t + h, t) не зависит от t для каждого h.

Возможно, самой простой моделью ВР является такая, в которой наблюдения представляют собой независимые и идентично распределенные случайные величины (СВ) с нулевым средним. Последовательность таких СВ назовем iid- шум (independent and identically distributed). Для любого положительного целого n и действительных чисел x ₁ ,..., x_n  можно записать   

где F (x) – функция распределения каждой из  идентично распределенных СВ Х ₁, Х ₂,....

В этой модели нет зависимости между наблюдениями, поэтому для всех h  ≥ 1 и всех x ₁, x ₂,..., x_n получаем выражение

которое показывает, что знание Х ₁ ,..., Х _n не имеет никакого значения для предсказания поведения Х _{n + h}.    

В ситуации, когда { Х _t } является iid -шумом и E (X ² _t) = σ² < ∞, выполняется требование а) определения  стационарности процесса, так как E (X_t) = 0 для всех t. При допущении независимости имеем 

Следовательно, iid -шум с конечным вторым моментом является стационарным процессом, который можно записать в следующем виде { Х _t } ~ IID (0, σ²). Такая запись означает, что случайные переменные Х _t  являются независимыми и идентично распределенными СВ, каждая из которых имеет нулевое среднее значение и дисперсию σ².