Условия возникновения автоколебаний

 

Как было показано в предыдущем разделе, коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется выражением:

 

где K – коэффициент усиления усилителя без обратной связи, а   β – коэффициент передачи цепочки обратной связи. Из этой формулы следует, что при   Kβ → 1 величина   K_β неограниченно увеличивается. Это соответствует условию самовозбуждения, при котором развиваются автоколебания. Устройства, в котором возникают автоколебания, называются автогенераторами.

Подчеркнём, что   K = K(ω) =   и β = β (ω) =  – комплексные величины. Поэтому условие самовозбуждения соответствует двум условиям:

 

|K| | β| ≥ 1,                                                                                                                         (7.1)

 

φ_K + φ_β = 2 π n, где n = 0, 1, 2…                                                                                    (7.2)

 

Первое условие (7.1) называют балансом амплитуд, а второе – балансом фаз (7.2). Величины   K и β могут зависеть от частоты   ω, поэтому условия (7.1, 7.2) удовлетворяются не для всех, а только для части частот. Из-за этого в спектр автоколебаний будут входить в основном именно эти частоты, только они "выживут".

Рассмотрим ещё раз процесс самовозбуждения (условия (7.1, 7.2) выполнены): малое увеличение напряжения на входе приведёт к увеличению напряжения на выходе, а оно в свою очередь приведёт через цепочку обратной связи к ещё большему увеличению входного напряжения и так далее. Очевидно, что должен существовать механизм ограничения амплитуды – иначе такой лавинообразный процесс приведёт к нефизическому следствию бесконечного роста амплитуды. Роль такого механизма обычно играет нелинейность усилителя: коэффициент усиления уменьшается с ростом амплитуды колебаний, а амплитуда сигнала на выходе ограничена напряжением питания. Подчеркнём, что нелинейность необходима в автоколебательной системе.

LC -автогенератор

 

Рис. 7.1 А и Б.

Схемы простейших

LC-генераторов.

 

В качестве примера рассмотрим схему простейшего LC -генератора, изображённую на рис. 7.1 (автогенераторы такого вида часто называют генераторами Томсона). На схеме рис. 7.1А колебательный контур расположен в цепи стока, а на рис. 7.1Б в цепи затвора. Такие простейшие схемы сейчас применяются редко.

Рассмотрим для определённости вторую схему (рис. 7.1Б). При включении напряжения питания через транзистор начинает течь ток. Этот ток через индуктивную связь с катушкой L вызовет появление э.д.с. взаимоиндукции в цепи контура. В контуре возникнут колебания. Если знак коэффициента M взаимоиндукции выбран правильно, то напряжение на конденсаторе С, включённом между затвором и истоком транзистора, будет усиливаться и увеличивать амплитуду колебаний. Ограничение амплитуды колебаний будет происходить за счёт нелинейной зависимости коэффициента усиления от амплитуды. При установившихся автоколебаниях потери в контуре за период будут в точности компенсироваться подкачкой энергии через цепь обратной связи.

Рассмотрим более подробно работу LC -генератора. Для тока в контуре по аналогии (2.34) запишем уравнение:

                                                                                          (7.3)

Если формально положить правую часть этого уравнения нулю, то получим уравнение свободных колебаний в контуре. Правая часть описывает влияние усилителя. Выражая ток I_СИ через напряжение на затворе по формуле:

  где S – крутизна характеристики. Тогда:

 

                                             продифференцировав и разделив на L, получим:

 

 

                                                                                                                                            (7.4)

 

Если в (7.4) для маленького поначалу сигнала формально принять, что крутизна S является постоянной, то решение этого уравнения сразу выписывается в виде:

 

                                                                                                                                             (7.5)

 

Мы видим, что член , описывающий работу усилителя, эквивалентен отрицательному сопротивлению. При r >  в системе будут затухающие колебания, а при r <    – колебания с экспоненциально увеличивающейся амплитудой. Последний случай и соответствует возникновению автоколебаний.

 

 

Мягкий режим возбуждения

 

Теперь вспомним, что для установления стационарных колебаний необходима нелинейность. В нашем случае – это нелинейная зависимость крутизны S(U_ЗИ) транзистора от напряжения на затворе (на конденсаторе). Учтём эту зависимость.

Пусть зависимость крутизны имеет вид, показанный на рис. 7.2. Выберем режим транзистора так, чтобы рабочая точка находилась на участке наибольшей крутизны характеристики, то есть в точке А на рис. 7.2.

 

Рис. 7.2.

Полином третьей степени совмещён с настоящей (см. рис. 5.9) сток-затворной характеристикой полевого транзистора. В точке А крутизна максимальная, а в точке В крутизна нулевая.

 

При r <  автоколебания будут нарастать. С ростом напряжения U_ЗИ  будет проходить участки характеристики со всё меньшей крутизной. В тех местах, где крутизна меньше, ток, конечно, уже не будет синусоидальным.

Стационарная амплитуда I₀ установится только тогда, когда:

            где угловые скобки обозначают усреднённое значение крутизны.              (7.6)

 

Такой режим называется мягким режимом возбуждения. Примем, что колебания в контуре установились: I(t) = I₀ cos ω₀₁ t.

Рассмотрим конкретную модельную зависимость крутизны, при которой ток через транзистор описывается формулой (см. рис. 5.9):

. Теперь рассчитаем усреднённую крутизну .              (7.7)

Для этого сначала вычислим ток I_СИ:

                                                                                                                                            (7.8)

 

Здесь мы отбросили гармоники на частоте  3 ω, считая их малыми.

Теперь мы можем, зная усреднённое значение крутизны , вычислить стационарную амплитуду I₀   из условия (7.6):

                                                                                                                                            (7.9)

 

Из графика на рис. 7.2 видно, что пока амплитуда колебаний небольшая, крутизна почти постоянная. С ростом амплитуды средняя крутизна уменьшается и, наконец,

наступает равновесие:  

 

 

Жёсткий режим возбуждения

 

Если выбрать рабочую точку, так чтобы крутизна была меньше критической (см. рис. 7.2, точка B и 7.3, точка H), то генерация сама не возникнет. Более того, если, например, за счёт внешнего источника, вызвать колебания в контуре амплитуды меньшей U_ЗИ (G), то после выключения внешнего источника колебания затухнут, и колебаний в системе не будет. Как показано на рис. 7.3, будут две стационарные точки, в которых положительное сопротивление компенсируется вносимым отрицательным. Видно, что левая точка (G) будет неустойчивой. Действительно, при случайном увеличении амплитуды напряжения на конденсаторе увеличится и ток I_СИ, а, следовательно, увеличится подкачиваемая в контур энергия (увеличится отрицательное сопротивление). Это приведёт к ещё большему увеличению амплитуды напряжения на конденсаторе и т.д.

Важно, что при включении генератора (при нулевой начальной амплитуде) автоколебания не разовьются. И только если начальная амплитуда вынужденных колебаний превысит амплитуду U_ЗИ (G), то в системе установятся устойчивые колебания амплитуды U_ЗИ (F). Наоборот, правая стационарная точка (F) будет устойчивой.

Такой режим называют жёстким режимом.

Рис. 7.3. Пример зависимости средней крутизны (U_ЗИ), для жёсткого режима возбуждения автоколебаний.

 

Весьма наглядным оказывается описание процессов в автогенераторе с помощью фазовой плоскости, по осям которой мы отложим напряжение на конденсаторе и скорость изменения заряда, то есть нормированный ток .

Как известно, колебания осциллятора без потерь на фазовой плоскости соответствуют движению точки по окружности или эллипсу, горизонтальная полуось которого равна амплитуде колебаний. Затухающие колебания в свободном осцилляторе описываются сходящейся спиралью. Тогда стационарные автоколебания в контуре автогенератора будут соответствовать устойчивому движению по часовой стрелке вдоль окружности, радиус которой равен амплитуде q₀ стационарных колебаний. Причём, если первоначально амплитуда колебаний была больше или меньше стационарной, то со временем такие траектории будут все ближе приближаться к стационарной окружности. Эта окружность называется устойчивым предельным циклом. В случае мягкого режима предельный цикл один и он устойчивый, в случае жёсткого режима – предельных циклов два, один из которых неустойчивый, а другой – устойчивый. Сказанное иллюстрирует рис. 7.4.

 

   МЯГКИЙ

РЕЖИМ

 

                                                                                         Устойчивый предельный цикл

 

    ЖЁСТКИЙ

 

                                                                                               Неустойчивый предельный цикл

 

Рис. 7.4. Фазовые портреты колебаний в генераторах с мягким (вверху)
и жёстким режимом возбуждения (внизу).

RC-генератор

 

Рассмотрим схему с неинвертирующим усилителем, в цепь обратной связи которого включена цепочка, изображённая на рис. 7.5. Эта цепочка носит название цепочки Вина. Покажем, что такой генератор будет источником синусоидальных колебаний. Чтобы выяснить выполнение условий генерации (7.1 и 7.2), рассчитаем коэффициент обратной связи, то есть коэффициент передачи цепочки Вина. Выше была получена следующая формула (2.61') для
   R₁ C₁ = R₂ C₂ = τ:

 

 

На частоте сдвиг фаз равен нулю, К = , а величина β(ω₀) – вещественная. Тогда уравнение баланса амплитуд (7.1) будет выполняться при K ≥ 3, и в системе разовьются почти синусоидальные колебания.

Напомним, что величина стационарной амплитуды будет определяться нелинейной зависимостью K(U_ВХ) коэффициента усиления.

На рис. 7.5 приведена схема RC -генератора на операционном усилителе. Здесь цепочка в цепи инвертирующего входа задаёт коэффициент усиления K ≥ 3, а цепочка Вина обеспечивает условия возникновения автоколебаний.

 

Рис. 7.5.

Схема RC-генератора на операционном усилителе.

                                                        (7.10)

 

 

Если условие баланса амплитуд “перевыполнено”, например, K = 30, то условие баланса амплитуд будет выполнено в широкой полосе и, значит, в спектре автоколебаний будут частоты, лежащие в широкой полосе вокруг ω₀,и колебания будут несинусоидальные.