Уравнения параболического типа.
Вывод уравнения теплопроводности
(одномерный случай)
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.
Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией 
, дающей температуру 
в каждой точке 
тела и в любой момент времени 
. Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.
Рассмотрим однородный стержень длины 
, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось 
так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой 
, а другой - с точкой 
(рис. 1.10).
 |
Чтобы найти функцию 
, надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.
1. Количество тепла 
, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на 
, равно
,
где 
- удельная теплоемкость, 
- масса тела.
Для стержня имеем
 ,
| (1.180) |
где 
- плотность материала стержня; 
- площадь его поперечного сечения.
2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла , протекающее за время 
через площадку 
в направлении нормали 
к этой площадке, равно
,
где 
- коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).
Для стержня имеем
 ,
| (1.181) |
где коэффициент будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то 
.
3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через 
плотность источников в точке 
рассматриваемого стержня в момент . Тогда в результате действия этих источников на участке 
за промежуток будет выделено количество тепла
 .
| (1.182) |
И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.
Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями 
и 
, и составим уравнение теплового баланса на отрезке 
. Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (1.181) количество тепла, прошедшее через сечение , равно
;
через сечение :
.
Найдем приток тепла 
в элемент стержня:
(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).
Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени 
выделится количество тепла согласно (1.182)
.
Все тепло 
за время пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину . И поэтому сообщенное количество тепла , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1.180):
.
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
.
Сокращая на общий множитель 
, получим уравнение
.
Введя обозначения 
, 
, придем к уравнению
 .
| (1.183) |
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (1.183) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную 
называют коэффициентом температуропроводности. Коэффициент имеет размерность м 
/с. Уравнение (1.183) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.
Процесс распределения температуры в изотропном теле описывается уравнением
 ,
| (1.184) |
которое кратко записывается так:
 ,
| (1.185) |
где 
- оператор Лапласа.
Уравнение (1.185) описывает также процессы диффузии, где - концентрация диффундирующего вещества, и другие (п.1.21).
Частные случаи уравнения теплопроводности
1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. 
, то уравнение (1.185) принимает более простой вид:
 .
| (1.186) |
Уравнение (1.186) называется уравнением свободного теплообмена.
2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем 
, уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:
 ,
| (1.187) |
где 
.
3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае 
и , поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа:
 .
| (1.188) |
С помощью уравнения (1.188) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры 
внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.
