Вывод уравнения теплопроводности

Уравнения параболического типа.

Вывод уравнения теплопроводности

(одномерный случай)

 

    Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.

    Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией , дающей температуру  в каждой точке  тела и в любой момент времени . Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.

    Рассмотрим однородный стержень длины , теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось  так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой , а другой - с точкой  (рис. 1.10).

    Чтобы найти функцию , надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.

    При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

    1. Количество тепла , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на , равно

,

где  - удельная теплоемкость,  - масса тела.

Для стержня имеем

 

,

(1.180)

 

где  - плотность материала стержня;  - площадь его поперечного сечения.

    2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла , протекающее за время  через площадку  в направлении нормали  к этой площадке, равно

,

где  - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

Для стержня имеем

 

,

(1.181)

 

где коэффициент  будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то .

    3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через  плотность источников в точке  рассматриваемого стержня в момент . Тогда в результате действия этих источников на участке  за промежуток  будет выделено количество тепла

 

.

(1.182)

 

    И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

    Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями  и , и составим уравнение теплового баланса на отрезке . Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (1.181) количество тепла, прошедшее через сечение , равно

;

через сечение :

.

Найдем приток тепла  в элемент стержня:

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

    Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени  выделится количество тепла согласно (1.182)

.

Все тепло  за время  пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину . И поэтому сообщенное количество тепла , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1.180):

.

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

.

Сокращая на общий множитель , получим уравнение

.

Введя обозначения , , придем к уравнению

 

.

(1.183)

 

Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (1.183) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную  называют коэффициентом температуропроводности. Коэффициент  имеет размерность м /с. Уравнение (1.183) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.

    Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

    Процесс распределения температуры  в изотропном теле описывается уравнением

 

,

(1.184)

 

которое кратко записывается так:

 

,

(1.185)

 

где  - оператор Лапласа.

    Уравнение (1.185) описывает также процессы диффузии, где  - концентрация диффундирующего вещества, и другие (п.1.21).

 

Частные случаи уравнения теплопроводности

    1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. , то уравнение (1.185) принимает более простой вид:

 

.

(1.186)

 

Уравнение (1.186) называется уравнением свободного теплообмена.

    2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем , уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:

 

,

(1.187)

 

где .

    3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае  и , поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа:

 

.

(1.188)

 

    С помощью уравнения (1.188) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры  внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.