Начальное и граничные условия, их физическое толкование. Постановка задач

 

    Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.185). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

    Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

    Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

    Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

    Начальное условие состоит в задании функции  в начальный момент времени :

 

.

(1.189)

 

    Выведем граничные условия в случаях I – III.

    1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

 

, ,

(1.190)

 

где ,  - функции, заданные в некотором промежутке , причем  есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, , , т.е. на концах поддерживается постоянная температура  и .

    2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения

 

.

(1.191)

 

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть  - величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение  в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня  в период времени , как и при выводе уравнения (1.183) запишется в виде

.

Сократив на  и перейдя к пределу при , получим . Таким образом, имеем условие (1.192), в котором  - известная функция, выражающаяся через заданный поток тепла  по формуле .

    Аналогично для сечения , через которое протекает количество тепла , найдем

.

Следовательно, условие   или  имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то  или , и следовательно,

или .

    3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения

 

.

(1.192)

 

Условие типа (1.192) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура  которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где  - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

    Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток , вытекающий через сечение , равен

.

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

.

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

.

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

,

в котором положено , .

    Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции , называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной , называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции , так и на значение производной , называют условиями третьего рода.

    В случае граничных условий вида (1.190), (1.191), (1.192) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (1.189).

    Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения  уравнения

при , ,

удовлетворяющего условиям

, ,

, , .

    Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при  и .

    Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения  в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.

    Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.

    ЗАДАЧА КОШИ    для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение  уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее начальному условию 

,

где  - заданная функция.

    Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение  уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее условиям

, ,

, ,

где  и  - заданные функции.

    Для уравнения (1.185) теплопроводности в пространстве , ограниченном поверхностью , начальное условие записывают в виде

,

а на границе  области  функция  должна удовлетворять одному из условий:

    1)  (граничное условие 1-го рода);

    2)  (граничное условие 2-го рода);

где  - внешняя нормаль к поверхности ; в частности, если поверхность  теплоизолирована, то ; 

    3)  (граничное условие 3-го рода).

Здесь  - текущая точка поверхности .

    Если распределение температуры внутри тела стационарно, то для однозначного определения функции  не надо задавать начальное условие, т.к. в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же, а достаточно знать лишь тепловой ражим на границе  тела. Разыскание закона стационарного распределения температуры сводится к решению уравнения Пуассона (1.187) или уравнения Лапласа (1.188) по одному из граничных условий, в которых функции  и  не зависят от . Задача для уравнений Пуассона и Лапласа с граничным условием  называется задачей Дирихле, а с условием  - задачей Неймана.

Доказано, что решение каждой из одномерных краевых задач первой, второй и третьей единственно в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области , . Для трехмерных и двумерных краевых задач решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости соответственно формулы Остроградского и формулы Грина. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе функций, ограниченных во всем пространстве, единственно и устойчиво.