Постановка задачи приближенного решения нелинейных уравнений (НЛУ). Этапы приближенного решения НЛУ

Одной из наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней нелинейных уравнений (НЛУ) с одним неизвестным. Решение этой задачи имеет целый ряд важных практических приложений.

В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде (слайд 2):

f (x) = 0

где f(x) – нелинейная функция одной действительной переменной.

В зависимости от вида функции f (x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых функция f (x)  представляет собой полином n -й степени (n > 1):

f(x) = Р_n(х) = a_n xⁿ + a_n–1 x^n-1 + …+ a₁ x + a₀

Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой выражение, содержащее хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую, обратную тригонометрическую или их комбинацию.

Решить НЛУ – означает найти его корни (слайд 3). Число x^* называется корнем уравнения f (x) = 0, если при подстановке его в функцию f (x) она обращается в 0, а уравнение – в тождество.

Однако точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей для получения точного решения трансцендентных уравнений. В этих случаях ставится задача приближенного решения НЛУ:

найти приближенное решение НЛУ с погрешностью, не превышающей ε > 0, то есть удовлетворяющее неравенству

В существующих методах приближенного решения НЛУ предполагается, что известен отрезок [a;b], на котором находится один и только один корень уравнения. Для отыскания всех корней уравнения должно быть задано несколько таких отрезков, и отыскание каждого корня проводится независимо друг от друга. Поэтому приближенное решение НЛУ распадается на 2 этапа (слайд 4):

1) отделение корней, то есть определение достаточно малых отрезков, в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение корней на каждом из полученных отрезков с наперед заданной точностью.

Уточнение корней производится итерационными методами, то есть путем построения последовательности приближений к корню x^*: x ₀, x ₁,..., x_n, …  Если такая последовательностьпри n ® ¥ имеет предел, равный точному значению корня x^*, то говорят, что итерационный процесс сходится. В качестве  приближенного решения уравнения выбирается первое последовательное приближение x_k, попавшее в ε–окрестность корня x^*.

Различные численные методы уточнения корня могут обладать разной скоростью сходимости и трудоемкостью вычисления очередного приближения. Чем меньшее количество итераций требуется для достижения одной и той же точности при одном и том же начальном приближении, тем более высокой скоростью сходимости обладает тот или иной метод.

Рассмотрим методы отделения корней НЛУ.