Одной из наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней нелинейных уравнений (НЛУ) с одним неизвестным. Решение этой задачи имеет целый ряд важных практических приложений.
В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде (слайд 2):
f (x) = 0
где f(x) – нелинейная функция одной действительной переменной.
В зависимости от вида функции f (x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых функция f (x) представляет собой полином n -й степени (n > 1):
f(x) = Рn(х) = an xn + an–1 xn-1 + …+ a1 x + a0
Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой выражение, содержащее хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую, обратную тригонометрическую или их комбинацию.
Решить НЛУ – означает найти его корни (слайд 3). Число x* называется корнем уравнения f (x) = 0, если при подстановке его в функцию f (x) она обращается в 0, а уравнение – в тождество.
Однако точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей для получения точного решения трансцендентных уравнений. В этих случаях ставится задача приближенного решения НЛУ:
найти приближенное решение НЛУ 
с погрешностью, не превышающей ε > 0, то есть удовлетворяющее неравенству
В существующих методах приближенного решения НЛУ предполагается, что известен отрезок [a;b], на котором находится один и только один корень уравнения. Для отыскания всех корней уравнения должно быть задано несколько таких отрезков, и отыскание каждого корня проводится независимо друг от друга. Поэтому приближенное решение НЛУ распадается на 2 этапа (слайд 4):
1) отделение корней, то есть определение достаточно малых отрезков, в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения;
2) уточнение корней на каждом из полученных отрезков с наперед заданной точностью.
Уточнение корней производится итерационными методами, то есть путем построения последовательности приближений к корню x*: x 0, x 1,..., xn, … Если такая последовательностьпри n ® ¥ имеет предел, равный точному значению корня x*, то говорят, что итерационный процесс сходится. В качестве приближенного решения уравнения выбирается первое последовательное приближение xk, попавшее в ε–окрестность корня x*.
Различные численные методы уточнения корня могут обладать разной скоростью сходимости и трудоемкостью вычисления очередного приближения. Чем меньшее количество итераций требуется для достижения одной и той же точности при одном и том же начальном приближении, тем более высокой скоростью сходимости обладает тот или иной метод.
Рассмотрим методы отделения корней НЛУ.
