Погрешности при численном решении задач на компьютере

При численном решении задач на компьютере возникают погрешности, искажающие результаты вычислений. Различают 3 источника погрешностей (слайд 18):

1) Погрешности в исходных данных. Это неустранимые погрешности; их следует учитывать при выборе точности метода решения задачи, а также иметь представление об их влиянии на точность окончательных результатов.

2) Погрешности метода решения задачи. Это регулируемые погрешности; они могут быть уменьшены до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра метода. Погрешности метода специфичны для каждого из конкретных численных методов, и мы будем рассматривать их при изучении соответствующих методов.

3) Погрешности округления. Этот вид погрешности связан с ограниченностью разрядной сетки компьютера.

Рассмотрим подробнее вопросы, связанные с погрешностями округления.

 

Числа с плавающей точкой

 

В задачах вычислительной математики нам приходится иметь дело с действительными числами (слайд 19). Действительное число – это, вообще говоря, бесконечная десятичная дробь, например:

 

π = 3.14159… √2 = 1.414… 1/3 = 0.333…

 

Некоторые действительные числа представляются конечными десятичными дробями, например:

 

0.1 2.125 0.0000512

 

В памяти компьютера действительные числа представляются в форме с плавающей точкой (слайд 20):

 

где β – основание системы счисления;

    k – разрядность (точность);

    m – мантисса числа;

    n – порядок числа (n_L ≤ n ≤ n_U, n_L  и n_U – границы порядка);

    d_i – цифры числа (0 ≤ d_i ≤ β–1, i=1,2,…k).

 

Если d₁ > 0, то такая форма представления числа называется нормализованной. Мантисса для экономии занимаемого места хранится в памяти компьютера в виде целого числа m∙β^k.

Пусть, например (слайд 21):

 

β = 10, k = 5, n_L = -99, n_U = +99

 

Тогда записанные выше действительные числа могут быть представлены в нормализованной форме с плавающей точкой следующим образом:

 

π = 0.31416∙10⁺⁰¹ √2 = 0.14142∙10⁺⁰¹ 1/3 = 0.33333∙10⁺⁰⁰

0.1 = 0.10000∙10⁺⁰⁰      2.125 = 0.21250∙10⁺⁰¹ 0.0000512 = 0.51200∙10^-04

 

Диапазон чисел, представимых в форме с плавающей точкой, определяется количеством разрядов, отводимых под порядок числа (слайд 22). Так для приведенного примера

 

0.10000∙10^-99 ≤ |x| ≤ 0.99999∙10⁺⁹⁹

Величина β^1–k характеризует относительную точность представления с плавающей точкой:

 

 

где r – действительное число, x – его представление в форме с плавающей точкой. Для нашего примера относительная точность представления составляет 0.5*10^–4.

В современных компьютерах числовые данные хранятся в шестнадцатеричной системе счисления (β = 16), и для представления действительных чисел имеются две основные формы представления с плавающей точкой (слайд 23): с обычной (одинарной) точностью (тип данных Single в языке Visual Basic) и с двойной точностью (тип данных Doub le в языке Visual Basic).

Числа с одинарной точностью занимают в памяти компьютера 4 байта (32 бита: 1 бит под знак, 8 бит под порядок и 23 бита под мантиссу). Такое представление обеспечивает относительную точность 6-7 десятичных цифр в примерном диапазоне:

1.2∙10^-38 ≤ |x| ≤ 3.4∙10⁺³⁸

 

Числа с двойной точностью занимают в памяти компьютера 8 байтов (64 бита: 1 бит под знак, 11 бит под порядок и 52 бита под мантиссу). Это представление обеспечивает относительную точность 15-16 десятичных цифр в примерном диапазоне:

2.3∙10^-308 ≤ |x| ≤ 1.7∙10⁺³⁰⁸

Таким образом, компьютер оперирует с приближенными (округленными) значениями действительных чисел, представленными в форме с плавающей точкой с одинарной или двойной точностью. При этом следует иметь в виду, что числа, представимые в десятичной системе в виде конечной дроби, в шестнадцатеричной системе могут представлять собой бесконечные дроби. Например:

(0.1)₁₀ = (0.199999…)₁₆

и в памяти компьютера хранится приближенное значение числа 0.1.

Мерой точности приближенного значения является его погрешность.