Численные методы принципиально отличаются от известных вам из элементарной и высшей математики аналитических методов решения различных математических задач. Дадим сравнительную характеристику этим двум классам методов (слайд 10).
| № п/п | Методы Характеристики | Аналитические | Численные |
| 1. | Способ получения результата и его форма | формула | алгоритм; число, таблица |
| 2. | Точность | точные | приближенные |
| 3. | Объем вычислений | малый | большой |
| 4. | Универсальность | специализированные | универсальные |
| 5. | Класс решаемых задач | узкий | широкий |
Поясним приведенную таблицу на примере задачи решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Пусть требуется найти действительные корни квадратного уравнения
Сравним на этом примере аналитические и численные методы по характеристикам из таблицы (слайды 11–14).
1. Способ получения результатов и его форма
При аналитическом решении уравнения способ получения результатов и его форма представляют собой известную формулу:
Эта формула является общим решением уравнения при условии существования действительных корней. Подставляя в нее значения коэффициентов уравнения a, b и с, мы можем найти сколь угодно много частных решений без вывода формулы заново.
При численном решении этого же уравнения мы должны выбрать метод решения задачи, разработать алгоритм для его реализации и написать компьютерную программу, которую необходимо запускать заново для решения каждого конкретного уравнения и нахождения каждого из двух корней. При этом результатом решения каждый раз будет одно число – корень уравнения.
2. Точность результатов
При аналитическом решении уравнения результаты абсолютно точны. Погрешность вносится только инструментом вычислений при подстановке коэффициентов.
При численном решении результаты заведомо приближенные, так как погрешность вносится самим методом решения. Нужно уметь оценивать эту погрешность или получать решение с наперед заданной точностью.
3. Объем вычислений
При аналитическом решении уравнения объем вычислений составляет несколько арифметических операций.
При численном решении могут потребоваться сотни и тысячи операций в зависимости от используемого метода и требуемой точности.
4–5. Универсальность и класс решаемых задач
Приведенная формула аналитического решения годится только для квадратных уравнений. Вообще аналитические методы применимы лишь для узкого класса решаемых задач, в данном случае – для узкого класса нелинейных уравнений: квадратных, биквадратных, некоторых тригонометрических и логарифмических.
Соответствующие численные методы применимы к любым нелинейным уравнениям. Вообще численные методы применимы к широкому классу различных математических задач.
Проведенное сравнение показывает, что численные методы имеют больше недостатков, чем достоинств. Поэтому, если задача имеет аналитическое решение, ее ни в коем случае не следует решать численными методами. Почему же численные методы используются, несмотря на все их недостатки? Ответ здесь вытекает из п. 5 таблицы: лишь узкий класс задач может быть решен аналитическими методами, и мы вынуждены прибегать к численным методам, чтобы вообще решить данную задачу (слайд 15).
О недостатках численных методов (слайд 16). Хотя они являются приближенными, результаты могут быть получены с очень высокой точностью за счет увеличения объема вычислений. Недостаток, заключающийся в большом объеме вычислений, преодолим с помощью современных высокоскоростных компьютеров.
О программной реализации численных методов (слайд 17). Многие численные методы реализованы в виде библиотек в составе интегрированных сред разработки программного обеспечения, либо в составе пакетов прикладных программ (ППП). Чтобы уметь грамотно пользоваться этими средствами (выбор метода, спецификация параметров и т.п.), а при необходимости самостоятельно разработать программу, надо разбираться в самих методах.
В данном курсе мы будем на лекциях и практических занятиях изучать теоретические основы численных методов и алгоритмы их реализации, а на лабораторных занятиях разрабатывать и выполнять программы решения различных задач вычислительной математики.
