Вычислительные модели и методы в автоматизации технологических процессов и производств

Лекция 1. Методы вычислительной математики

Вычислительные модели и методы в автоматизации технологических процессов и производств

Моделирование — это исследование каких-либо объектов: явлений, процессов или систем путем построения и изучения их моделей, использование моделей для определения и уточнения характеристик (задачи анализа) и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов (задачи синтеза). Моделирование — одна из основных категорий теории познания: на идее моделирования, по существу, базируется любой метод научного исследования  — как теоретический, так и экспериментальный. Сущность моделирования заключается в замещении исследуемого объекта его моделью с целью исследования свойств объекта при помощи модели (слайд 4).

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования. Математическая модель ставит в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной. Такие модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи. Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.

Математическое моделирование можно подразделить на два класса: аналитическое и компьютерное.

При аналитическом моделировании процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей. Аналитические модели могут представлять собой уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные), аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, интегрирование и дифференцирование), задачи оптимизации. Примером простой аналитической модели может служить модель процесса колебаний в механическом маятнике или электрическом колебательном контуре в виде дифференциального уравнения. Решение этого уравнения позволяет найти функциональную зависимость угла отклонения маятника от времени и длины маятника.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простых систем. Для сложных систем часто возникают большие математические проблемы. Для применения аналитического метода идут на существенное упрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенной модели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Кроме того, весьма часто построенная аналитическая модель не имеет аналитического решения, и возникает необходимость использования численных методов решения с применением компьютера.

Под компьютерным моделированием в самом широком смысле будем понимать процесс создания и исследования моделей с помощью компьютера (слайд 9). Различные разновидности компьютерного моделирования принципиально отличаются друг от друга. Их объединяет только использование одного и того же инструмента исследования – компьютера. Можно выделить три вида компьютерного моделирования.

Численное моделирование  предполагает численное решение систем алгебраических или дифференциальных уравнений, описывающих моделируемый объект или систему, методами вычислительной математики и проведение вычислительного эксперимента при различных параметрах системы, начальных условиях и внешних воздействиях.

Статистическое моделирование используется для изучения стохастических систем, изменения в которых носят случайный характер. Оно состоит в многократном проведении испытаний с последующей статистической обработкой получающихся результатов. Статистическое моделирование применяется при решении вероятностных задач, а также при обработке больших массивов данных (интерполяция, экстраполяция, регрессия, корреляция, расчет параметров распределения и т.д.).

Имитационное моделирование – метод, позволяющий строить модели в форме моделирующего алгоритма (программы), описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

В настоящем курсе мы будем изучать методы и средства именно численного моделирования. Другими словами, предметом курса являются методы вычислительной математики или численные методы.