Лагранжа или формулой конечных приращений. 3 страница

, где К – кривизна кривой.

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

Определение: Вектор называется вектором кривизны. Величина называется радиусом кривизны.

О формулах Френе.

Формулами Френе называются соотношения:

Последняя формула получена из двух первых.

В этих формулах:

- единичный вектор главной нормали к кривой,

- единичный вектор бинормали,

R – радиус кривизны кривой ,

Т – радиус кручения кривой.

Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.

Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- .

Величина называется кручением кривой.

Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

- наклонных асимптот не существует.

5. Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

4x³ – 9x² + 6x – 1 x - 1

` 4x³ – 4x² 4x² – 5x + 1

- 5x² + 6x

` - 5x² + 5x

x - 1

` x - 1

Тогда можно записать (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x² – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

	(-¥; ¼)	1/4	(¼; ½)	1/2	(½; 1)	1	(1; ¥)
f¢¢(x)	+	+	+	0	-	0	+
f¢(x)	-	0	+	+	+	0	+
f(x)	убывает вып.вниз	min	возрастает вып.вниз	перегиб	возрастает вып.вверх	перегиб	возрастает вып. вниз

6. Построим график функции.

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
1	-ln½cosx½+C	9	e^x + C
2	ln½sinx½+ C	10	sinx + C
3		11	-cosx + C
4		12	tgx + C
5		13	-ctgx + C
6	ln	14	arcsin + C
7		15
8		16

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x) dx = f[ j(t)] j ¢(t) dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена Получаем:

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax² + bx + c выражение b² – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u² + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a) ^a…(x - b) ^b(x²+ px + q) ^l…(x²+ rx + s) ^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.