Условия равновесия системы сил

 

Второй основной задачей статики является определение условий, при которых заданная система сил эквивалентна нулю (уравновешена).

 

Теорема.

Система сил эквивалентна нулю (уравновешена) тогда и только              тогда, когда её главный вектор и главный момент относительно              произвольной точки равны нулю.

Доказательство. Приведём заданную систему сил к произвольно выбранному центру . В соответствии с теоремой о приведении системы сил к одному центру, исходная система сил эквивалентна одной силе , приложенной в выбранном центре , и одной паре сил , момент которой , т.е.

 

причём

 

Силы  и  заменим равнодействующей  (Рис. 2.2). Таким образом, любую систему сил можно заменить эквивалентной системой двух сил. При этом

 

                                                                 (a)

                                                          (b)

Аксиома 2 устанавливает необходимые и достаточные условия равновесия системы двух сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу  –  силы должны быть равными по модулю, противоположными по направлению  и, кроме того, должны иметь общую линию действия (Рис. 2.3), т.е.

 

Рис. 2.2		Рис. 2.3

Сравнивая последние равенства с равенствами (a) и (b), находим, что для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил системы (главный вектор) равнялась нулю и сумма моментов всех сил системы относительно произвольно выбранной точки (главный момент) равнялась нулю:

 

                                                                       

Принимая центр приведения за начало декартовой системы координат, получаем в проекциях на координатные оси:

 

Таким образом,  

для равновесия произвольной системы сил необходимо и                        достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из                        трёх взаимно перпендикулярных осей координат равнялась                              нулю и сумма моментов всех сил системы относительно                        каждой из этих осей равнялась нулю.

Эквивалентность систем сил

 

Теорема.

Две системы сил, приложенные к свободному твёрдому телу, эквивалентны тогда и только тогда, когда их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же произвольно выбранного центра равны между собой.

 

Доказательство.  Пусть две системы сил эквивалентны:  Покажем, что главные векторы и главные моменты этих систем сил равны между собой. Используя принцип независимости действия сил, выберем вспомогательную систему сил  такую, что  и, следовательно, . При этом действие заданных систем сил на тело (в составе новых систем сил) не изменяется. Условия равновесия для расширенных систем сил имеют вид:

 

                                    

 

                                   

 

Сравнивая равенства  и , получаем:

 

или           

 

  Таким образом, доказана необходимость условий   для эквивалентности систем сил.

  Докажем достаточность. Пусть условия  выполнены. Покажем, что системы сил при этом эквивалентны. Рассмотрим вспомогательную систему сил , для которой справедливы равенства , и, следовательно, справедливы равенства . На основании теоремы об условиях равновесия системы сил отсюда получаем

 

 .

 

  На основании аксиомы 2 к любой системе сил можно добавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Отсюда:

 

 

Теорема Вариньона

Из теоремы об эквивалентности вытекает очень важное следствие, которое в литературе обычно формулируют как теорему Вариньона:

 

если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольно выбранной точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.