Масса, импульс, момент импульса, момент инерции

 

    Каждое физическое тело обладает массой , которая позволяет телу в той или иной степени сохранять свое механическое состояние, то есть является мерой инертности этого тела.

    Заметим, что в природе есть и безмассовые частицы. Но это особые объекты, которые всегда движутся с одной и той же скоростью – скоростью света!

    Тело массы , движущееся со скоростью , обладает импульсом .

 

 

 

    Материальная точка с импульсом ,движущаяся относительно начала координат, как бы поворачивается вокруг него. Поэтому эта материальная точка обладает и моментом импульса относительно начала координат. Термин «момент» всегда связан с вращением.

 

 

 

 

                                                                                    

 

                 

 

 

 

 

    Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение радиуса – вектора материальной точки на ее импульс.

 

 

    Направление вектора момента импульса, как и результат любого векторного произведения, определяется по правилу правой руки.

    Модуль вектора момента импульса равен произведению модуля радиуса – вектора на модуль вектора импульса и на синус угла между ними.

 

 

 

                        

 

 

                                                                                                                    

 

 

                 

                                                        

                                                                             

        плечо

 

    Модуль вектора момента импульса равен произведению модуля вектора импульса на его плечо.

 

 

    Плечо вектора равно расстоянию от этого вектора до оси вращения (длине перпендикуляра, опущенного из оси на линию вектора).

 

    Если твердое тело вращается вокруг некоторой оси, то каждая его точка с бесконечно малой массой  движется по окружности радиуса  и обладает бесконечно малым импульсом

Плечо этого импульса равно радиусу . Каждая точка тела обладает и моментом импульса

 

                                                                

                                                 

 

 

                                                                                                               

 

                                                             

                                                                                  

 

 

    Все твердое тело обладает моментом импульса, который можно вычислить, просуммировав моменты импульса всех его точек. Для этого нужно взять интеграл в объеме  всего тела

 

    Интеграл

 

называется моментом инерции данного тела и зависит только от масс различных частей тела и от их расположения относительно оси вращения. Именно момент инерции тела помогает ему в той или иной степени сохранять свое вращение, то есть является мерой инертности этого тела при вращении.

    Момент импульса вращающегося твердого тела равен произведению момента инерции этого тела на угловую скорость:

 

 

 

    Нужно знать формулы для моментов инерции некоторых тел: материальной точки массы , движущейся по окружности радиуса , сплошного и полого цилиндров массы и радиуса .

 

ТЕЛО	Момент инерции
Материальная точка
Сплошной цилиндр
Полый цилиндр

 

 

Динамика

 

    Основу динамики составляют первый, второй и третий законы Ньютона.

    Первый закон Ньютона.

    Если на материальную точку никакие силы не действуют, то она движется относительно Вселенной прямолинейно и равномерно или покоится.

     Система отсчета, связанная с такой точкой, называется инерциальной системой отсчета.

    Все инерциальные системы отсчета движутся относительно друг друга и относительно Вселенной прямолинейно и равномерно.

    Если твердое тело вращается вокруг некоторой оси, и никакие силы на него не действуют, то это тело будет продолжать вращаться с той же угловой скоростью.

    Без внешнего воздействия все тела сохраняют свое механическое состояние.

 

    Второй закон Ньютона.

    На данное тело массы может подействовать с некоторой силой какое-нибудь другое тело. Это воздействие имеет величину и направление. Поэтому сила  является вектором. Если на данное тело действуют несколько других тел, то все соответствующие силы – векторы складываются.

 

 

                                            

 

 

 

                                                        

 

 

                            

 

                                                     

 

 

 

                                                                                                        

          

 

 

    Эта векторная сумма всех сил, действующих на тело, изменяет его линейную скорость относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета, то есть сообщает телу линейное ускорение. Ускорение это прямо пропорционально векторной сумме всех сил и обратно пропорционально массе тела.

 

    Уравнение второго закона Ньютона для поступательного движения относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета

 

 

 

    Сила измеряется в ньютонах (Н).

 

 

 

    Векторная сумма всех сил, действующих на тело, изменяет его импульс.

 

 

Производная от импульса тела по времени равна векторной сумме всех сил:

 

 

 

 

Это уравнение также является уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета.

 

 

    Если вектор силы не имеет плеча, то есть линия вектора силы пересекает возможную ось вращения твердого тела, то эта сила не сможет повернуть тело, не сможет сообщить телу угловое ускорение.

 

 

 

                                                             

 

 

          плечо

 

                                                                 

 

    Угловое ускорение телу может сообщить только момент силы. Момент силы  является вектором, направление которого определяется по правилу правой руки.

    Величина момента силы равна произведению модуля вектора силы на ее плечо:

 

 

 

    Если на тело действуют несколько моментов сил, то все эти векторы складываются. Угловое ускорение тела относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета прямо пропорционально векторной сумме моментов всех сил и обратно пропорционально моменту инерции этого тела относительно оси, вдоль которой направлена эта векторная сумма моментов всех сил.