Основные свойства интеграла функции комплексного переменного

Лекция 12

Тема: Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интеграл Коши. Особые точки. Вычеты.

Интегрирование функций комплексного переменного.

Пусть дана произвольная функция w= комплексного переменного, определенная в некоторой области G комплексной плоскости переменного z, и Г-произвольная спрямляемая линия, лежащая в области G, с началом в точке B и концом в точке C. Кривую BC разобьем произвольным способом на n частей точками B=z₀,z₁,z₂,…, z_n=C.Это разбиение обозначим через (Т). Пусть ,

где . В каждом из участков разбиения произвольным способом выберем по точке ζ₁, ζ₂,…, ζ_n и составим сумму , которая называется интегральной суммой. Предел таких интегральных сумм при называется криволинейным интегралом от функции по кривой Г.

(1)

Имеем: тогда интеграл запишется в виде:

(2)

Формула (2) дает выражение интеграла по комплексному переменному через два криволинейных интеграла. Формулу (2) можно записать в следующем виде:

(3)

12.2. Вычисление интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть кривая Г задана в виде , тогда будем иметь:

, где

Пример 1. Пусть Г- кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки . Тогда интеграл

Если Г замкнутая кривая, то .

Основные свойства интеграла функции комплексного переменного

1. , где Г⁺и Г^‑ один и тот же путь, который проходится в положительном и отрицательном (противоположном) направлении.

12.4. Теорема Коши. Вообще говоря, по двум различным путям, соединяющим две точки В и С, может иметь различные значения, т.е. интеграл может зависеть от пути интегрирования. Как и в случае с криволинейным интегралом возникает вопрос: какие условия надо наложить на функцию , чтобы не зависел от пути интегрирования.

Задача о независимости интеграла от пути интегрирования равносильна задаче нахождения условий, при которых данный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю.

Итак, предположим, что функция является аналитической в односвязной области G, причем непрерывны вместе с частными производными первого порядка.

Так как является функцией аналитической в области G, то в этой области выполняются условия Коши-Римана: На основании формулы (2) имеем:

(4)

Рассмотрим криволинейный интеграл , для которого

. Так как , , то в силу выполнения условий Коши-Римана и поэтому . Аналогично

Учитывая (4), имеем: Итак, доказана следующая теорема.

Теорема Коши. Если является аналитической функцией в односвязной области G и непрерывны вместе с частными производными первого порядка, то интеграл от этой функции, взятый вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего области G, равен нулю, т.е. Теорема Коши является основной теоремой в теории аналитических функций. Теорема Коши остается справедливой, если потребовать только, что является аналитической функцией в односвязной области G.

Интеграл Коши

Пусть G есть односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г, а является аналитической в Ḡ. Это означает, что является аналитической в некоторой области G’ содержащей G.

Формула Коши связывает значение функции во всякой внтутренней точке z области G со значениями данной функции на границе области G. Это означает, что значение аналитической функции на Г вполне определяют значения этой функции в области G.

Формула Коши имеет вид: