Лекция 11
Тема:Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность, производная. Аналитическая функция. Условие Коши-Римана.
11.1.Комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме и действия над ними.
Число z=x+ i y, где х и у действительные числа, а 
или 
, называется комплексным числом в алгебраической форме.
Число 
называется действительной частью комплексного числа, а 
- мнимой частью. Комплексное число изображается точкой на комплексной плоскости.
Модуль комплексного числа есть расстояние от точки z до начала координат и обозначается |z|, 
. Сопряженным числом для z=x+iy называется число 
=x-iy. 
.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1) Сложение комплексных чисел.
2) Умножение комплексных чисел.
Умножение комплексных чисел производится по правилу умножения многочлена на многочлен, учитывая, что .
3) Деление комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть z=x+iy.
Рассмотрим полярную систему координат с полюсом в т. О и полярой ОХ. В этом случае формулы перехода от декартовой системы координат к полярной имеют вид:
,
и комплексное число z запишется в виде z= 
+ i 
= 
,
z =| z |(cos 
+ isin ) – Это и есть тригонометрическая форма комплексного числа, 
.
Модуль комплексного числа, определяется однозначно: 
а Argz определен лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2π. Через argz обозначается главное значение Argz, которое является одним из значений Argz.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
В частности, 
.
Функции комплексного переменного.
Определение 1: Говорят, что на множестве Е точек комплексной плоскости z задана функция w=f(z), если по вполне определенному закону каждой точке 
ставится в соответствие точка w или совокупность точек. В первом случае функция называется однозначной, а во втором случае многозначной.
Множество Е называется множеством определения функции f(z), а множество Q всех значений w, которые принимает f(z) на Е, - множеством ее изменений. Наиболее важным случаем является тот, когда Е и Q являются областями.
Если положить z=x+iy, a w=U(x,y)+i 
(x,y), то задание функции комплексного переменного w=f(z) равносильно заданию двух функций двух переменных U(x,y) и (x,y). Функция U(x,y) называется действительной частью, а (x,y) – мнимой частью функции w=f(z).
Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного.
Пусть функция w=f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки 
, кроме, быть может самой точки 
.
Будем говорить, что предел функции w=f(z) существует при 
, если существуют оба предела 
, при этом будем полагать: 
.
Так как определение предела функции f(z) сводится к определению предела действительных функций, то теоремы о пределе суммы, произведения, частного сохраняются и для функций комплексного переменного.
Определение 2: Определение предела функции комплексного переменного можно сформулировать и с помощью понятия окрестности.
Число 
называется пределом функции W=f(z) в точке , если 
, то 
. Отметим, что f(z) стремится к независимо от способа приближения точки z к . Таким образом, если 
, то при стремлении z к по какой-либо линии, f(z) будет стремиться к .
Определение 3: Пусть функция W=f(z) определена в некоторой окрестности точки (включая саму точку ). Функция W=f(z) называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. 
.
Отметим, для того, чтобы функция f(z)=U(x,y)+ 
(x,y) была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы обе функции U(x,y) и (x,y) были непрерывны в точке 
.
Так как определение непрерывности функции комплексного переменного аналогично определению непрерывности функции действительного переменного, то теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного остаются справедливыми и для функций комплексного переменного.
Определение 4: Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая саму точку z. Производной функции f(z) в точке z называется предел:
В этом случае говорят, что функция f(z) дифференцируема в точке z.
Условия дифференцируемости функции f(z)=U(x,y)+ (x,y) в терминах действительных функций U(x,y) и (x,y) выражаются в следующей теореме:
Теорема. (Условия Коши-Римана)(Эйлера-Даламбера).
Пусть f(z)=U(x,y)+ (x,y) определена в некоторой окрестности точки z, причем U(x,y) и (x,y) непрерывны в точке z вместе со своими частными производными первого порядка. Для того, чтобы f(z) имела в точке z производную (f(z) была дифференцируема в точке z) необходимо и достаточно выполнение условий:
(условия Коши-Римана).
Доказательство.
Необходимость. Дано: f(z) в точке z имеет производную. Требуется доказать, что выполняются равенства . Так как 
существует, то 
, где 
Пусть 
, тогда 
.
Далее, положим, что 
=0, тогда 
. Отсюда следует равенство
= 
. Так как два комплексных числа равны, то равны соответственно их действительные и мнимые части, 
и 
. Это означает, что выполняются условия Коши-Римана.
Достаточность.
Дано , . Требуется доказать, что 
существует.
Так как U(x,y) и (x,y) имеют непрерывные частные производные в точке (х,у), то они дифференцируемы в этой точке. Это означает, что
, где 
+ 
, где 
.
Далее имеем:
, где 
Учитывая условия Коши-Римана, будем иметь:
Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются обычные правила дифференцирования.
, где u=g(z); 
, где f(z) и 
взаимно обратные функции.
C учетом условий Коши-Римана, производную f’(z) можно находить по формуле: 
.
Определение 5. Функция называется аналитической в области, если она имеет производную в каждой точке этой области.
Отметим, что понятие аналитической функции относится только к однозначным функциям, т.к. понятие предела и производной было дано для однозначных функций.
Пример 1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции 
и найти ее производную.
Решение. 
Следовательно, , кроме этого отметим, что U(x,y) и (x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на всей плоскости. Таким образом, условия Коши-Римана выполняются. Производную найдем по формуле:
. 
