Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного.

Лекция 11

Тема:Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность, производная. Аналитическая функция. Условие Коши-Римана.

       11.1.Комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме и действия над ними.

Число z=x+ i y, где х и у действительные числа, а  или , называется комплексным числом в алгебраической форме.

       Число называется действительной частью комплексного числа, а  - мнимой частью. Комплексное число изображается точкой на комплексной плоскости.

       Модуль комплексного числа есть расстояние от точки z до начала координат и обозначается |z|, . Сопряженным числом для z=x+iy называется число =x-iy. .

 

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

 

1) Сложение комплексных чисел.

2) Умножение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел производится по правилу умножения многочлена на многочлен, учитывая, что .

3) Деление комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть z=x+iy.

Рассмотрим полярную систему координат с полюсом в т. О и полярой ОХ. В этом случае формулы перехода от декартовой системы координат к полярной имеют вид:

 

 ,

и комплексное число z запишется в виде z= + i = ,

z =| z |(cos + isin ) – Это и есть тригонометрическая форма комплексного числа, .

Модуль комплексного числа, определяется однозначно:  а Argz определен лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2π. Через argz обозначается главное значение Argz, которое является одним из значений Argz.

       Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

В частности, .

Функции комплексного переменного.

Определение 1: Говорят, что на множестве Е точек комплексной плоскости z задана функция w=f(z), если по вполне определенному закону каждой точке  ставится в соответствие точка w или совокупность точек. В первом случае функция называется однозначной, а во втором случае многозначной.

       Множество Е называется множеством определения функции f(z), а множество Q всех значений w, которые принимает f(z) на Е, - множеством ее изменений. Наиболее важным случаем является тот, когда Е и Q являются областями.

       Если положить z=x+iy, a w=U(x,y)+i (x,y), то задание функции комплексного переменного w=f(z) равносильно заданию двух функций двух переменных U(x,y) и (x,y). Функция U(x,y) называется действительной частью, а (x,y) – мнимой частью функции w=f(z).

Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного.

Пусть функция w=f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки .

Будем говорить, что предел функции w=f(z) существует при , если существуют оба предела , при этом будем полагать: .

       Так как определение предела функции f(z) сводится к определению предела действительных функций, то теоремы о пределе суммы, произведения, частного сохраняются и для функций комплексного переменного.

       Определение 2: Определение предела функции комплексного переменного можно сформулировать и с помощью понятия окрестности.

Число  называется пределом функции W=f(z) в точке , если  , то . Отметим, что f(z) стремится к  независимо от способа приближения точки z к . Таким образом, если , то при стремлении z к по какой-либо линии, f(z) будет стремиться к .

       Определение 3: Пусть функция W=f(z) определена в некоторой окрестности точки (включая саму точку ). Функция W=f(z) называется непрерывной в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке, т.е. .

       Отметим, для того, чтобы функция f(z)=U(x,y)+ (x,y) была непрерывной в точке  необходимо и достаточно, чтобы обе функции U(x,y) и (x,y) были непрерывны в точке .

       Так как определение непрерывности функции комплексного переменного аналогично определению непрерывности функции действительного переменного, то теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного остаются справедливыми и для функций комплексного переменного.

       Определение 4: Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая саму точку z. Производной функции f(z) в точке z называется предел:

       В этом случае говорят, что функция f(z) дифференцируема в точке z.

       Условия дифференцируемости функции f(z)=U(x,y)+ (x,y) в терминах действительных функций U(x,y) и (x,y) выражаются в следующей теореме:

       Теорема. (Условия Коши-Римана)(Эйлера-Даламбера).

Пусть f(z)=U(x,y)+ (x,y) определена в некоторой окрестности точки z, причем U(x,y) и (x,y) непрерывны в точке z вместе со своими частными производными первого порядка. Для того, чтобы f(z) имела в точке z производную (f(z) была дифференцируема в точке z) необходимо и достаточно выполнение условий:

 (условия Коши-Римана).

       Доказательство.

Необходимость. Дано: f(z) в точке z имеет производную. Требуется доказать, что выполняются равенства . Так как  существует, то , где

       Пусть , тогда .

 

 

Далее, положим, что =0, тогда . Отсюда следует равенство

=

. Так как два комплексных числа равны, то равны соответственно их действительные и мнимые части, и . Это означает, что выполняются условия Коши-Римана.

       Достаточность.

Дано , . Требуется доказать, что  существует.

Так как U(x,y) и (x,y) имеют непрерывные частные производные в точке (х,у), то они дифференцируемы в этой точке. Это означает, что

, где

+ , где .

Далее имеем:

, где

       Учитывая условия Коши-Римана, будем иметь:

       Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются обычные правила дифференцирования.

, где u=g(z); , где f(z) и  взаимно обратные функции.

       C учетом условий Коши-Римана, производную f’(z) можно находить по формуле: .

       Определение 5. Функция называется аналитической в области, если она имеет производную в каждой точке этой области.

       Отметим, что понятие аналитической функции относится только к однозначным функциям, т.к. понятие предела и производной было дано для однозначных функций.

       Пример 1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции  и найти ее производную.

       Решение.

       Следовательно, , кроме этого отметим, что U(x,y) и (x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на всей плоскости. Таким образом, условия Коши-Римана выполняются. Производную найдем по формуле:

.