Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Лекция 10

Тема: Ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда. Определение функций Формулы Эйлера.

 10.1. Ряды с комплексными членами.

       Определение 1. Выражение вида z₁+z₂+…+z_n+…=  , где  – комплексные числа, называется рядом с комплексными членами.

Ряды с действительными членами являются частным случаем рядов с комплексными членами.

Определение 2. Ряд  называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм, т.е. если существует предел , где  Если же  не существует, то ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то S называется суммой ряда.

Каждому ряду с комплексными членами

                                                                            (1)

соответствует два ряда с действительными членами

                                                                 (2)

                                         ,             (3)

где , ,…,

Теорема 1. Для того, чтобы ряд (1) с комплексными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда (2) и (3) с действительными членами.

Теорема 2. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд  сходится, то предел общего члена ряда равен 0, т.е. .

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Необходимый признак не является достаточным. В самом деле, ряд  расходится, хотя общий член стремится к нулю.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Ряд  = является знакочередующимся и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница, следовательно, он сходится.

 

По признаку Лейбница сходится и ряд

 . По теореме 1 данный ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Определение 3. Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. если сходится ряд .

Определение 4. Ряд  называется условно сходящимся, если данный ряд сходится, а ряд , составленный из модулей членов данного ряда расходится.

Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд . В самом деле, ряд из модулей членов данного ряда  является рядом Дирихле S=2>1, который сходится.

Примером условно сходящегося ряда может служить ряд . В примере 1 показано, что рассматриваемый ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда, , который расходится. Следовательно, ряд  сходится условно.

Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Ряд вида , где  - комплексные числа, , , называется степенным рядом с комплексными членами.

Теорема Абеля. Если степенной ряд  сходится в точке , , то он сходится и при том абсолютно в круге .

Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Рассмотрим ряд , который составлен из модулей членов данного ряда. Полученный ряд является знакоположительным рядом, и к нему можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Вначале применим признак Даламбера, т.е. найдем

.

Это означает, что данный ряд сходится в круге  с центром в точке  радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности  ряд может сходиться, а может и расходиться.

Теперь к ряду   применим признак Коши.

Найдем предел

Если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится.

Следовательно, данный ряд сходится в круге  с центром в точке  радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности  ряд  может сходиться, а может и расходиться.

Пример 2. Найти круг сходимости степенного ряда  и исследовать сходимость ряда на границе круга сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд , к которому применим признак Коши. Найдем  При  ряд сходится, а при  расходится. Следовательно,  является кругом сходимости с центром в точке  и радиуса 1.

Возьмем произвольную точку  на границе круга сходимости, т.е.  и рассмотрим данный степенной ряд в точке , т.е. ряд , который проверим на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из модулей членов последнего ряда, т.е. рассмотрим ряд , который сходится. Следовательно, ряд  в каждой точке окружности  сходится абсолютно.

10.5. Определение функций Формулы Эйлера.

Известно, что

                      (1)

                    (2)

                          (3)

 

Положим:

                             (4)

                     (5)

                        (6)

Если в рядах (4),(5),(6) положить z=x, то получим соответственно ряды (1),(2),(3). Это означает, что функции на действительной прямой z=x совпадают соответственно с ранее определенными функциями .

Покажем, что функции  определены на всей комплексной плоскости. Для этого надо показать, что ряды (4),(5),(6) сходятся во всей комплексной плоскости.

       Ряды (4),(5),(6) являются степенными, поэтому нам достаточно показать, что радиусы сходимости этих рядов равны .

Например, найдем радиус сходимости ряда (4). Рассмотрим ряд из модулей членов ряда (4), т.е. ряд  и применим к этому ряду признак Даламбера.

Так как 0<1 для любого Z, то ряд (4) сходится абсолютно, а, следовательно, сходится на всей комплексной плоскости, R= . Аналогично доказывается, что ряды (5) и (6) сходятся на всей комплексной плоскости.

Теперь рассмотрим функцию

Итак, получена формула , которая называется формулой Эйлера.

Из формулы Эйлера можно получить следующие формулы:

Отметим, что  является четной функцией, а  – нечетной функцией.

.

 

Пользуясь формулами Эйлера, можно доказать, что функция  является периодической с периодом , а функции  тоже являются периодическими с периодом .