Основные сведения о комплексных числах

Мнимые и комплексные числа были введены в математику, в известном смысле, против воли математиков (отсюда и термин – мнимые). Дело в том, что они оказались совершенно необходимы при решении кубических уравнений.

Основным элементом, отличающим комплексные числа от действительных, является мнимая единица. Мнимой единицей называется квадратный корень из минус единицы. Она обозначается либо с помощью буквы i, либо с помощью знака квадратного корня – . Таким образом, основное свойство мнимой единицы таково: i² = –1.

Комплексные числа являются результатом умножения мнимой единицы на действительные числа и сложения результата с теми же действительными числами. Каждое комплексное число с имеет вид a + bi. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа с. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа с. Число a – bi называется комплексно сопряжённым с исходным числом a + bi.

На комплексные числа переносятся обычные математические операции. Пусть с₁ = a₁ + b₁i, а с₂ = a₂ + b₂i, тогда:

1. Формула с₁ + с₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i определяет сложение. Вычитание определяется аналогично.

2. Формула с₁ ∙ с₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i определяет умножение.

3. Для определения деления используются комплексно сопряжённые числа:

.

Поскольку каждое комплексное число определяется парой действительных чисел, существует естественное геометрическое представление комплексных чисел на плоскости с декартовой системой координат. Каждое комплексное число с = a + bi является вектором, начало которого совпадает с началом системы координат. Конец же вектора имеет координаты (a; b), то есть действительная часть комплексного числа соответствует абсциссе, а мнимая – ординате. Ясно, что сложение комплексных чисел соответствует сложению соответствующих векторов.

Геометрическое представление комплексных чисел легко приводит к тригонометрическому представлению (тригонометрической форме) комплексных чисел, которое является чрезвычайно важным для развития теории комплексных чисел.

Пусть комплексное число с = a + bi представлено вектором (a; b). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через │с│. Очевидно, что │с│= . Пусть угол наклона того же самого вектора равен φ. Число φ называется аргументом комплексного числа, обозначается через arg с и равно arctg . Важным обстоятельством является неоднозначность в определении угла. Аргументами комплексного числа можно считать все углы, отличающиеся на 2πk.

Перейдём к непосредственному описанию тригонометрической формы комплексных чисел. Если │с│ = r и arg с = φ, то a = r∙cos φ и b = r∙sin φ. Тогда комплексное число можно представить в виде с = r∙(cos φ + i sin φ). Это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Эта форма чрезвычайно удобна для умножения и деления комплексных чисел. Пусть с₁ = r₁∙(cos φ₁ + sin φ₁ i) и с₂ = r₂∙(cos φ₂ + i sin φ₂), тогда произведение вычисляется по формуле с₁∙с₂ = r₁∙r₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)), а частное – по формуле (cos (φ₁ – φ₂) + i sin (φ₁ – φ₂)). Для возведения комплексного числа в степень можно использовать формулу Муавра: сⁿ = (r∙(cos φ + i sin φ))ⁿ = r ⁿ∙(cos nφ + i sin nφ)). Наконец, тригонометрическая форма комплексного числа позволяет извлекать из комплексных чисел корни. При извлечении корня n-й степени получается n различных значений:

, где k = 0, 1, … n – 1.

Комплексные числа позволяют построить теорию функций комплексного переменного. В частности все элементарные функции могут рассматриваться как функции комплексного переменного. Для перехода от функции действительного переменного к функции комплексного переменного используются ряды Тейлора.

Рассмотрим ряды Тейлора трёх функций

,

,

.

Подставим в первый ряд вместо х мнимое число iφ. В двух остальных рядах заменим х на φ. Второй ряд умножим на i и сложим с третьим. В результате будет получен первый ряд. Таким образом, верна формула Эйлера: . Из неё следует, что  и .

Это обстоятельство используется для нахождения действительных решений линейных однородных уравнений.

Пример. Найти действительные решения уравнения у′′ + у = 0.

Характеристический многочлен λ² + 1 имеет корни i и –i. Следовательно, общее решение имеет вид у = с₁е^ix + c₂е^–ix. Положив с₁ = с₂ = ½ получим, что у = cos x. Положив с₁ =  и с₂ = –  получим, что у = sin x. В итоге действительные решения исходного уравнения имеют вид у = р₁∙cos x + р₂∙sin x.